Recordad que un sistema de ecuaciones lineales (SEL) puede representarse de forma matricial como A·X = b, donde A es la matriz de coeficientes, X es la matriz columna de incógnitas y b es la matriz columna de términos independientes. Recordad que el SEL es 

• compatible determinado: si tiene solución y es única. 
• compatible indeterminado: si tiene solución no única. En este caso, existen infinitas soluciones.
• incompatible: si no tiene solución.

El teorema de Rouché-Frobenius establece la relación entre el rango de la matriz ampliada (A|b) del sistema A·x = b y el tipo de sistema. 

El teorema dice: 

"Sea el sistema A·X=b  con m ecuaciones lineales y con n incógnitas, donde m y n son naturales mayores que 0. Entonces,

• El sistema AX = b es compatible si, y sólo si, rango(A) = rango(A|b)

• El sistema AX = b es compatible determinado si, y sólo si, rango(A) = rango(A|b)= n"

​Ejemplo de aplicación: 

La matriz ampliada del sistema es:

El rango de la matriz es

ya que tiene un determinante de dimensión 3 no nulo:

Además, como el determinante anterior también es el determinante de la matriz A, la matriz de coeficientes también tiene rango 3:

Por tanto, tenemos que los rangos de las dos matrices coinciden

y, por el teorema de Rouché-Frobenius, como el rango es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.

En efecto, la única solución del sistema es, en forma matricial,

Es decir,

Nota: la solución se ha calculado por la regla de Cramer.

Más ejemplos: Teorema de Rouché-Frobenius

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