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textoFiltroFichatipo de documento Matematiques - Tutorial
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Recordad que un sistema de ecuaciones lineales (SEL) puede representarse de forma matricial como A·X = b, donde A es la matriz de coeficientes, X es la matriz columna de incógnitas y b es la matriz columna de términos independientes. Recordad que el SEL es
El teorema de Rouché-Frobenius establece la relación entre el rango de la matriz ampliada (A|b) del sistema A·x = b y el tipo de sistema.
El teorema dice:
"Sea el sistema A·X=b con m ecuaciones lineales y con n incógnitas, donde m y n son naturales mayores que 0. Entonces,
El sistema AX = b es compatible si, y sólo si, rango(A) = rango(A|b)
El sistema AX = b es compatible determinado si, y sólo si, rango(A) = rango(A|b)= n"
Ejemplo de aplicación:
La matriz ampliada del sistema es:
El rango de la matriz es
ya que tiene un determinante de dimensión 3 no nulo:
Además, como el determinante anterior también es el determinante de la matriz A, la matriz de coeficientes también tiene rango 3:
Por tanto, tenemos que los rangos de las dos matrices coinciden
y, por el teorema de Rouché-Frobenius, como el rango es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.
En efecto, la única solución del sistema es, en forma matricial,
Es decir,
Nota: la solución se ha calculado por la regla de Cramer.
Más ejemplos: Teorema de Rouché-Frobenius
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Fecha publicación: 16.4.2018
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