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Propiedades de los logaritmos (con ejemplos y ejercicios)

tipo de documento Matemáticas - Tutorial

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En esta pagina enunciamos las propiedades de los logaritmos y las aplicamos para calcular operaciones entre logaritmos. No incluimos la propiedad de cambio de base.

1. Recordatorio

Es necesario que recordemos la definición de logaritmo:

El logaritmo en base b de un número a se representa por logb(a) y es el número c que cumple bc = a:

definición de logaritmo

 

 

 

  • El número b es la base del logaritmo. Tiene que ser un real positivo distinto de 1.
  • El número es el argumento del logaritmo.
  • El número c es el logaritmo en base b de a.

Si se sobreentiende, no es necesario escribir la base.

2. Propiedades de los logaritmos

Logaritmo de un producto

El logaritmo de un producto de factores es la suma de los logaritmos de los factores:

logaritmo del producto

 

 

 

Ejemplo:

logaritmo en base 5 de 15

 

 

 

Logaritmo de un cociente

El logaritmo de un cociente es el logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador:

logaritmo de una fracción

 

 

 

Ejemplo:

logaritmo en base 3 de 3/5

 

 

 

 

Logaritmo de una potencia

El logaritmo de una potencia es el logaritmo de la base de la potencia multiplicado por el exponente:

logaritmo de una potencia

 

 

 

Ejemplo:

logaritmo en base 2 de 8

 

 

 

Importante:

Observad que las bases de los logaritmos de las propiedades son iguales.

Ejemplo:

  • Podemos sumar logaritmos con base común:

logaritmo en base 2 de 5 + logaritmo en base 2 de 3

 

 

  • No podemos sumar logaritmos con base distinta:

no se pueden sumar los logaritmos en bases distintas

 

 

3. Ejemplos de aplicación

Ejemplo 1

logaritmo de 3 + logaritmo de 5

 

 

Solución:

La suma de logaritmos es el logaritmo del producto:

calculamos el logaritmo de 3 + logaritmo de 5

 

 

 

 

 

Ejemplo 2

3 por logaritmo de 2

 

 

Solución:

El número 3 pasa al argumento como un exponente:

calculamos 3 por logaritmo de 2

 

 

 

 

 

Ejemplo 3

3 por logaritmo de 2 más 2 por logaritmo de 3

 

 

Solución:

Antes de utilizar la propiedad de la suma de logaritmos, tenemos que introducir los coeficientes (3 y 2) como exponentes de los argumentos:

calculamos 3 por logaritmo de 2 más 2 por logaritmo de 3

 

 

 

 

 

 

Ejemplo 4

1/2 por logaritmo de 9

 

 

 

Solución:

Recordad que el exponente 1/2 es la raíz cuadrada:

la raíz cuadrada de x es igual a x elevado a 1/2

 

 

Por tanto, tenemos el logaritmo de una raíz cuadrada:

calculamos 1/2 por logaritmo de 9

 

 

 

 

 

Ejemplo 5

8 por logaritmo en base 5 de raíz cuadrada de 5

 

 

Solución:

En lugar de introducir el 8 como un exponente, vamos a extraer el exponente 1/2 del argumento:

calculamos 8 por logaritmo en base 5 de raíz cuadrada de 5

 

 

 

 

 

 

 

Más ejercicios similares en propiedades de los logaritmos.

 

Otros temas de logaritmos:

Mapa Conceptual: Propiedades de los logaritmos (con ejemplos y ejercicios)

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Fecha publicación: 18.6.2019

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