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Multiplicar matrices

tipo de documento Matemáticas - Tutorial

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En este texto vamos a ver cómo multiplicar dos matrices, pero antes recordaremos la suma de matrices y el producto de un número por una matriz. 

Lo primero que diremos con la intención de que lo aprendamos cuanto antes es 
 

  • La suma de matrices es conmutativa: A+B = B+A
  • El producto de matrices no es conmutativa: casi nunca se cumple A·B = B·A


Suma de matrices 


La suma de matrices es fácil de calcular y exige que las matrices que se suman tengan la misma dimensión (mismo número de filas y de columnas). 

La suma de matrices se calcula sumando los elementos que ocupan la misma posición. 

Ejemplo: 

Suma y Producto de matrices 

 

 

 

 



Antes de ver el producto de dos matrices veamos el producto de un número por una matriz: 

El producto de un número α por una matriz A es la matriz que resulta al multiplicar por α todos los números de A. Este producto sí es conmutativo. 

Ejemplo: (producto por un número y suma) 



matriz 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Producto de matrices 


El producto de matrices es un poco más complicado de calcular. Si se quiere multiplicar la matriz A por la matriz B, el número de columnas de A tiene que coincidir con el número de filas de B. 

El resultado del producto A·B es una matriz que tiene el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que B. 

Observad que 
 

  • Si A y B son cuadradas, se puede calcular el producto A·B y el producto B·A
  • Si A y B no son cuadradas y se puede calcular el producto A·B, entonces no se puede calcular el producto B·A.
  • Teniendo en cuenta el punto anterior, tiene sentido que casi nunca se dé la conmutatividad en el producto de matrices.


Veamos cómo se calcula

Supongamos que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. 
Entonces, el elemento de la fila i y columna j de la matriz A·B es el producto de la fila i de A por la columna j de B. 

Para verlo más claro nos ayudaremos de un ejemplo: 

Multiplicar matrices

 

 

Llamaremos A a la matriz de la izquierda y B a la de la derecha. Estas matrices son de dimensión 2x2, por lo que podemos calcular el producto AB que será una matriz de dimensión 2x2.

  • El elemento de la fila 1 y la columna 1 de AB es el producto escalar de los vectores fila 1 de A y columna 1 de B:

(2,0)·(-1,5) = 2·(-1) + 0·5 = - 2

  • El elemento de la fila 1 y la columna 2 de AB es el producto escalar de los vectores fila 1 de A y columna 2 de B:

(2,0)·(-1,6) = 2·(-1) + 0·6 = - 2 

  • El elemento de la fila 2 y la columna 1 de AB es el producto escalar de los vectores fila 2 de A y columna 1 de B:

(1,3)·(-1,5) = 1·(-1) + 3·5 = -1 + 15 = 14

  • El elemento de la fila 2 y la columna 2 de AB es el producto escalar de los vectores fila 2 de A y columna 2 de B:

(1,3)·(-1,6) = 1·(-1) + 3·6 = -1 + 18 = 17

Por tanto, el producto es

 

Multiplicar matrices

 

 

 

 

 

Ejemplo 2: producto de dos matrices rectangulares 

suma de matrices 

 

 

 



La matriz A·B tiene dimensión 2x2. 

Ejemplo 3: producto de dos matrices cuadradas de dimensión 3 

producto de matrices 

 

 

 

 

 



La matriz A·B tiene dimensión 3x3. 

Más información: 

Calculadoras online de matrices:

Mapa Conceptual: Multiplicar matrices

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Fecha publicación: 28.2.2018

Se respeta la licencia original del recurso.

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