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Ecuaciones de segundo grado

tipo de documento Mathématiques - Tutorial

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Una ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica cuyo grado es 2, es decir, aquella en la que el grado mayor de los monomios es 2 (es decir, su parte literal es x al cuadrado).

Toda ecuación de segundo grado puede escribirse como 

 

Ecuaciones de segundo grado

 

 

Los números ab y c son los coeficientes de la ecuación, siendo siempre distinto de 0 (si no, no sería una ecuación de segundo grado). 

1. Tipos de ecuaciones

Las ecuaciones de segundo grado se clasifican en ecuaciones completas ecuaciones incompletas.  Un ecuación es completa cuando los tres coeficientes ab y son distintos de 0. Si b ó c son 0, entonces es incompleta. 

 

2. Resolución de una ecuación completa

Para calcular la solución o soluciones debemos aplicar la siguiente fórmula: 

 

Ecuaciones de segundo grado

 

 

Ejemplo: 

 

Ecuaciones de segundo grado

 

 

En esta ecuación los coeficientes son a = 1, b = 2 y c = 1. Aplicamos la fórmula: 

 

Ecuaciones de segundo grado

 

 

 

Esta ecuación sólo tiene una solución. Esto se debe a que el radicando de la fórmula es 0. 

 

2. 1. Discriminante de una ecuación completa

Al radicando de la fórmula (el interior de la raíz) se denomina discriminante de la ecuación:

Ecuaciones de segundo grado

 

 

Según el signo del discriminante, la ecuación tendrá dos soluciones, una solución o ninguna solución: 

  • Si el discriminante es 0, Δ = 0, entonces la ecuación tiene sólo una solución
  • Si el discriminante es negativo, Δ < 0, entonces la ecuación no tiene soluciones (reales). 
  • Si el discriminante es positivo, Δ > 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones distintas. 

 

3. Resolución de una ecuación incompleta

La ecuación es incompleta si b = 0 ó c = 0. Por tanto, hay tres tipos de ecuaciones incompletas:

 

Ecuaciones de segundo grado

 

 

 

 

 

3. 1. Primer caso (b = 0)

La ecuación es de la forma 

 

resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas de los tres tipos paso a paso

 

 

Despejando tenemos que

 

resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas de los tres tipos paso a paso

 

 

 

 

 

Haciendo la raíz cuadrada, obtenemos las dos soluciones

 

resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas de los tres tipos paso a paso

 

 

 

Pero es necesario que el radicando (interior de la raíz) sea positivo. Si no es así, no existen soluciones (reales).

Ejemplo: 

 

resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

 

 

Despejamos x y hacemos la raíz cuadrada (no olvidemos el doble signo)

 

ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado

 

 

 

 

 

 

 

La ecuación tiene dos soluciones: x = 3x = - 3.

 

3. 2. Segundo caso (c = 0)

La ecuación es de la forma

 

resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas de los tres tipos paso a paso

 

 

Factorizamos

resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas de los tres tipos paso a paso

 

 

 

Como es un producto cuyo resultado es 0, alguno de los dos factores tiene que ser 0. Por tanto, tenemos las siguientes posibilidades (raíces):

 

resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas de los tres tipos paso a paso

 

 

 

Una solución es x = 0 y la otra es x = -b/a. 

 

Ejemplo:

 

resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

 

 

Factorizamos la expresión y nos queda un producto de x por un polinomio de primer grado:

 

ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado

 

 

 

 

 

 

La ecuación tiene dos soluciones: x = 0x = 1/4. 

 

3. 3. Tercer caso ( b = 0 = c )

 

La ecuación es de la forma

 

resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas de los tres tipos paso a paso

 

 

Tenemos la única solución:  x = 0.

 

  • Enlaces:

  1. Resolución de Ecuaciones Completas
  2. Resolución de Ecuaciones con soluciones Complejas
  3. Ecuaciones de segundo grado completas e incompletas
  4. Propiedades de las Ecuaciones de Segundo Grado
  5. Equacions de segon grau incompletes
  6. Equacions de segon grau completes
  7. Foro de ayuda

 

Licencia de Creative Commons Esta obra está bajo una licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.

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Fecha publicación: 9.2.2017

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