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Límites de Sucesiones (o progresiones)

tipo de documento Mathematik - Lernprogramm

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En este texto vamos a calcular algunos límites de sucesiones. Los razonamientos que seguimos para el cálculo de límites de sucesiones son los mismos que los que seguimos para el de límites de funciones (una sucesión es una función definida sobre los naturales). Esto significa que en los límites de las sucesiones pueden aparecer indeterminaciones que ya sabemos cómo resolver: cálculo de límites e indeterminaciones.

Recordatorio

Una sucesión a(n) es convergente a L≠∞ (L es finito) si

Límites de Sucesiones (o progresiones)

En este caso dice que la sucesión a(n) converge a su límite L y lo expresamos por a(n)→L. En caso contrario, la sucesión diverge. Aclaraciones:

Si el límite de a(n) es +∞ ó −∞, la sucesión diverge.
Si el límite de a(n) no existe, la sucesión diverge.
La sucesión a(n) sólo converge cuando su límite es finito.

Nota: hacemos las anteriores aclaraciones ya que, para nosotros, la divergencia es la no convergencia, así que una sucesión es convergente o divergente. Algunos consideran que la divergencia es tener límite infinito y, por tanto, una sucesión puede ser convergente (límite finito), divergente (límite infinito) o no convergente ni divergente (sin límite).

1. Límite de a(n) = 5/n

El límite de la sucesión es 0 porque el grado del denominador es mayor que el del numerador:

Límites de Sucesiones (o progresiones)

2. Límite de a(n) = 3 - 2/n

El límite de la sucesión es el cociente de los coeficientes directores del numerador y del denominador (porque tienen el mismo grado):

Límites de Sucesiones (o progresiones)

3. Límite de a(n) = n^2/(n + 1)

El límite de la sucesión es infinito porque el grado del numerador es mayor que el del denominador:

Límites de Sucesiones (o progresiones)

4. Límite de a(n) = (n^2 - 2)/(2n^2 - 1)

El límite de la sucesión es el cociente de los coeficientes directores del numerador y del denominador (porque tienen el mismo grado):

Límites de Sucesiones (o progresiones)

Límites de sucesiones con raíces

Límite 1

Límites de Sucesiones (o progresiones)

El grado del numerador es 1/2 y el del denominador es 1. Por tanto, tiende a 0.

Límite 2

Límites de Sucesiones (o progresiones)

El límite es el cociente de los coeficientes directores porque el grado del numerador y el del numerador son el mismo (2/3 = 4/6).

Límite 3

Límites de Sucesiones (o progresiones)

Finalmente, calculamos el límite de la sucesión

Límites de Sucesiones (o progresiones)

El grado del numerador y el del denominador son el mismo, pero tal y como está escrita la sucesión, no sabemos cuál es el coeficiente director del denominador. Tenemos que operar un poco (multiplicar y dividir por el conjugado del denominador):

Límites de Sucesiones (o progresiones)