El valor absoluto de un número a, representado como |a|, es su valor numérico (con signo positivo).

Por ejemplo,

1. Función valor absoluto

Matemáticamente, el valor absoluto es una función (de una variable) de los reales en los reales:

y se define como una función a trozos:

Esta función es continua en los reales y derivable en

La gráfica de la función es:

Notemos que en los reales negativos la gráfica es la de y = - x y en los positivos es la de y = x.

2. Propiedades

El valor absoluto siempre es mayor o igual que 0, siendo 0 sólo cuando su argumento es 0:

El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos de los factores:

Valor absoluto de la suma:

Propiedad importante: si tenemos la desigualdad (menor o igual)

podemos escribir

que es lo mismo que decir

(tienen que cumplirse ambas relaciones).

Dicho en forma de intervalos:

Si la desigualdad es (mayor o igual)

podemos escribir

(es una unión: tiene que cumplirse una de las dos).

Dicho en forma de intervalos:

3. Inecuaciones con valor absoluto

Inecuación 1

Escribimos la inecuación como

Por tanto, la solución es

Inecuación 2

Podemos escribir la inecuación como

Tenemos que resolver las dos inecuaciones.

Podemos hacerlo al mismo tiempo:

Sumamos 1:

O bien, separar ambas inecuaciones y resolverlas por separado:

De ambas formas obtenemos la misma solución:

Inecuación 3

Escribimos la inecuación como:

Vamos a trabajar primero con las dos inecuaciones al mismo tiempo:

Sumamos 5:

Sumamos x:

Ahora tenemos que separarlas para obtener la solución:

Por un lado:

Por otro:

En esta segunda inecuación hemos obtenido una relación que siempre se cumple. Luego no nos aporta restricciones a la solución.

Por tanto, la solución es

Más información:

• Inecuaciones con valor absoluto

• Inecuaciones de primer grado, segundo grado y racionales

• Foro de Ayuda.

• Problemas y Ecuaciones

• Ecuaciones Resueltas

 
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