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Valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos

tipo de documento Mathematics - Tutorial

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El valor absoluto de un número a, representado como |a|, es su valor numérico (con signo positivo).

Por ejemplo,

 

valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos

 

 

 

 

 

 

1. Función valor absoluto

Matemáticamente, el valor absoluto es una función (de una variable) de los reales en los reales:

 

valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos

 

 

 

y se define como una función a trozos:

 

 

valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos

 

 

 

Esta función es continua en los reales y derivable en

valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos

 

 

La gráfica de la función es:

valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos

 

 

 

 

 

 

 

 

Notemos que en los reales negativos la gráfica es la de y = - x y en los positivos es la de y = x.

 

2. Propiedades

El valor absoluto siempre es mayor o igual que 0, siendo 0 sólo cuando su argumento es 0:

 

valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos

 

 

 

 

El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos de los factores:

 

valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos

 

 

 

Valor absoluto de la suma:

 

valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos

 

 

 

Propiedad importante: si tenemos la desigualdad (menor o igual)

valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos

 

 

podemos escribir

 

valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos

 

 

que es lo mismo que decir

 

valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos

 

 

(tienen que cumplirse ambas relaciones).

Dicho en forma de intervalos:

 

valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos

 

 

Si la desigualdad es (mayor o igual)

 

valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos

 

 

podemos escribir

 

valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos

 

 

(es una unión: tiene que cumplirse una de las dos).

Dicho en forma de intervalos:

 

valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos

 

 

3. Inecuaciones con valor absoluto

Inecuación 1

 

resolución de inecuaciones con valores absolutos

 

 

Escribimos la inecuación como

 

resolución de inecuaciones con valores absolutos

 

Por tanto, la solución es

 

resolución de inecuaciones con valores absolutos

 

 

Inecuación 2

 

resolución de inecuaciones con valores absolutos

 

 

Podemos escribir la inecuación como

 

resolución de inecuaciones con valores absolutos

 

 

Tenemos que resolver las dos inecuaciones.

Podemos hacerlo al mismo tiempo:

Sumamos 1:

 

resolución de inecuaciones con valores absolutos

 

 

O bien, separar ambas inecuaciones y resolverlas por separado:

 

resolución de inecuaciones con valores absolutos

 

 

 

De ambas formas obtenemos la misma solución:

 

resolución de inecuaciones con valores absolutos

 

 

Inecuación 3

 

resolución de inecuaciones con valores absolutos

 

 

Escribimos la inecuación como:

 

resolución de inecuaciones con valores absolutos

 

 

Vamos a trabajar primero con las dos inecuaciones al mismo tiempo:

 

resolución de inecuaciones con valores absolutos

 

 

Sumamos 5:

 

resolución de inecuaciones con valores absolutos

 

Sumamos x:

 

resolución de inecuaciones con valores absolutos

 

 

Ahora tenemos que separarlas para obtener la solución:

Por un lado:

 

resolución de inecuaciones con valores absolutos

 

 

Por otro:

 

resolución de inecuaciones con valores absolutos

 

 

En esta segunda inecuación hemos obtenido una relación que siempre se cumple. Luego no nos aporta restricciones a la solución.

Por tanto, la solución es

 

resolución de inecuaciones con valores absolutos

 

 

Más información:

 

 

matesfacil.com

 

 

Creative Commons License 
Matesfacil.com by J. Llopis is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

Mapa Conceptual "Valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos"

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Fecha publicación: 4.3.2017

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