En esta página explicamos intuitivamente el concepto de límite lateral de una función, con ejemplos y gráficas, y proporcionamos algunos ejemplos de funciones cuyos límites laterales no coinciden.

1. Recordatorio

Conviene recordar el concepto de límite:

Decimos que la función f(x)  tiende a L cuando x tiende a  a (o que el límite de f(x)  en a es L) si la función  toma valores cada vez más próximos a  L cuando x se aproxima al punto a.

Lo expresamos mediante

Por ejemplo, el límite de la función  cuando  tiende a 2 es 4:

El concepto de límite lateral es el mismo, pero considerando que x se aproxima al punto a  sólo por su derecha o por su izquierda.

2. Límite lateral

El límite de f(x)  por la izquierda de a es L si la función  toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto a por su izquierda.

Lo denotamos por

Análogamente, el límite de f(x)  por la derecha de a es L si la función  toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto a por su derecha.

Lo denotamos por

Ejemplo:

Consideremos la función f(x) = 1/x . Queremos calcular sus límites laterales en el punto x=0.

Cuando x toma valores cercanos a 0 por su derecha, f(x) toma valores positivos grandes:

Por tanto, su límite por la derecha es infinito positivo:

Cuando x toma valores cercanos a 0 por su izquierda, f(x) toma valores negativos pequeños:

Por tanto, su límite por la izquierda es infinito negativo:

Gráfica de la función:

Lógicamente, hablamos del límite de una función en un punto cuando sus límites laterales coinciden:

Si no es así, decimos que el límite en a no existe. Esto es lo que ocurre en el ejemplo anterior, así que

3. Ejemplos

Veamos dos ejemplos típicos de funciones cuyos límites laterales no coinciden.

Ejemplo 1

En las funciones racionales (fracciones de polinomios), los puntos que anulan al denominador son puntos donde, generalmente, los límites laterales no coinciden.

Por ejemplo,

Gráfica:

Ejemplo 2

En las funciones definidas a trozos es habitual que no coincidan los límites laterales en los puntos donde cambia la definición.

Por ejemplo, sea la función

Los límites laterales en 0 son

Gráfica:

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