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Límites laterales

tipo de documento Matemàtiques - Tutorial

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Sobre aquest recurs...

En esta página explicamos intuitivamente el concepto de límite lateral de una función, con ejemplos y gráficas, y proporcionamos algunos ejemplos de funciones cuyos límites laterales no coinciden.

1. Recordatorio

Conviene recordar el concepto de límite:

Decimos que la función f(x)  tiende a L cuando x tiende a  (o que el límite de f(x)  en a es L) si la función  toma valores cada vez más próximos a  cuando x se aproxima al punto a.

Lo expresamos mediante

Límites laterales

 

 

Por ejemplo, el límite de la función  cuando  tiende a 2 es 4:

Límites laterales

 

 

El concepto de límite lateral es el mismo, pero considerando que x se aproxima al punto  sólo por su derecha o por su izquierda.

2. Límite lateral

El límite de f(x)  por la izquierda de a es L si la función  toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto a por su izquierda.

Lo denotamos por

límites laterales

 

 

Análogamente, el límite de f(x)  por la derecha de a es L si la función  toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto a por su derecha.

Lo denotamos por

límites laterales

 

 

Ejemplo:

Consideremos la función f(x) = 1/x . Queremos calcular sus límites laterales en el punto x=0.

Cuando x toma valores cercanos a 0 por su derecha, f(x) toma valores positivos grandes:

Límites laterales

 

 

 

 

 

 

Por tanto, su límite por la derecha es infinito positivo:

el límite por la derecha de 0 de 1/x es +infinito

 

 

 

Cuando x toma valores cercanos a 0 por su izquierda, f(x) toma valores negativos pequeños:

Límites laterales

 

 

 

 

 

Por tanto, su límite por la izquierda es infinito negativo:

el límite por la derecha de 0 de 1/x es -infinito

 

 

 

Gráfica de la función:

gráfica de la función 1/x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lógicamente, hablamos del límite de una función en un punto cuando sus límites laterales coinciden:

límites laterales

 

 

 

 

 

Si no es así, decimos que el límite en a no existe. Esto es lo que ocurre en el ejemplo anterior, así que

no existe el límite de 1/x en x=0 porque los límites laterales no coinciden

 

 

 

3. Ejemplos

Veamos dos ejemplos típicos de funciones cuyos límites laterales no coinciden.

Ejemplo 1

En las funciones racionales (fracciones de polinomios), los puntos que anulan al denominador son puntos donde, generalmente, los límites laterales no coinciden.

Por ejemplo,

límites laterales en los puntos 1 y -1 de la función 1/(x^2-1)

 

 

 

 

 

 

 

 

Gráfica:

gráfica de la función 1/(x^2-1)

 

 

 

 

 

 

 

 

Ejemplo 2

En las funciones definidas a trozos es habitual que no coincidan los límites laterales en los puntos donde cambia la definición.

Por ejemplo, sea la función

función por partes

 

 

 

Los límites laterales en 0 son

límites laterales de la función por partes

 

 

 

 

 

 

 

Gráfica:

gráfica de la función por partes

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Más ejemplos y temas de límites:

Mapa Conceptual

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Fecha publicación: 11.6.2019

Es respecta la llicència original del recurs.

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