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Asíntotas de funciones (tipos y ejemplos)

tipo de documento Matemáticas - Unidad didáctica

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A veces, la gráfica de una función se acerca infinitamente a algunas rectas. Estas rectas se denominan asíntotas.

Ejemplo:

Asíntotas de funciones (tipos y ejemplos)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La asíntota es la recta de color rojo y su ecuación es y=x+1.

 

Una asíntota puede ser horizontal, vertical u oblicua (como en el ejemplo).

A continuación, definimos y explicamos cómo calcular las asíntotas de una función.

 

Asíntota horizontal

Una función f(x) tiene la asíntota horizontal y=k si su límite cuando x tiende a infinito es k.

Distinguimos tres casos:

  • Asíntota horizontal por la izquierda si

    Asíntotas de funciones (tipos y ejemplos)

 

 

  • Asíntota horizontal por la derecha si

    Asíntotas de funciones (tipos y ejemplos)

 

 

 

  • Si ambos límites son iguales, decimos simplemente que y=k es una asíntota horizontal de f(x).

Para calcular la asíntota horizontal sólo tenemos que calcular los límites cuando x tiende a ±∞.

Ejemplo:

Asíntotas de funciones (tipos y ejemplos)

 

 

 

Calculamos los límites:

Asíntotas de funciones (tipos y ejemplos)

 

 

 

 

 

La función tiene la asíntota y=2 por ambos lados.

Gráfica:

Asíntotas de funciones (tipos y ejemplos)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Asíntota vertical

Una función f(x) tiene la asíntota vertical x=k si su límite cuando x tiende a k es infinito.

También, distinguimos tres casos:

  • Asíntota vertical por la izquierda si

    Asíntotas de funciones (tipos y ejemplos)

 

 

  • Asíntota vertical por la derecha si

    Asíntotas de funciones (tipos y ejemplos)

 

 

  • Si ambos límites son iguales, decimos simplemente que y=k es una asíntota vertical de f(x).

Las funciones racionales (fracción de polinomios) tienen asíntotas verticales en las raíces del denominador.

Ejemplo:

Asíntotas de funciones (tipos y ejemplos)

 

 

 

Calculamos los límites cuando x→5:

Asíntotas de funciones (tipos y ejemplos)

 

 

 

 

 

Por tanto, x=5 es una asíntota vertical por ambos lados.

Gráfica:

Asíntotas de funciones (tipos y ejemplos)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Observad que también tiene la asíntota horizontal y=1.

La función logaritmo es un ejemplo de función que tiene una asíntota vertical (x=0) sólo por un lado (por la derecha):

Asíntotas de funciones (tipos y ejemplos)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Los k candidatos para ser asíntotas verticales suelen ser los x=k para los que f(x) presenta problemas en su definición.

 

Asíntota oblicua

Una recta es oblicua si no es horizontal ni vertical. Son las rectas con ecuación

Asíntotas de funciones (tipos y ejemplos)

 

 

 

El coeficiente m es la pendiente de la recta y n es la ordenada en el origen.

  • La recta y=mx+n es una asíntota oblicua de f(x) por su izquierda si

    Asíntotas de funciones (tipos y ejemplos)

 

 

  • Y es asíntota oblicua por su derecha si

    Asíntotas de funciones (tipos y ejemplos)

 

 

 

Encontrar las asíntotas oblicuas parece más complicado que las horizontales y las verticales, sin embargo, el siguiente resultado facilita la tarea:

Si la recta y=mx+n es una asíntota oblicua de f(x), entonces

Asíntotas de funciones (tipos y ejemplos)

 

 

 

 

Ejemplo:

Calculamos la asíntota oblicua de la función

Asíntotas de funciones (tipos y ejemplos)

 

 

 

La pendiente es

Asíntotas de funciones (tipos y ejemplos)

 

 

 

La ordenada en el origen es

Asíntotas de funciones (tipos y ejemplos)

 

 

 

 

 

 

La asíntota oblicua es

Asíntotas de funciones (tipos y ejemplos)

 

 

Se trata de una asíntota oblicua por ambos lados, por eso hemos calculado los límites con x→±∞.

Gráfica:

Asíntotas de funciones (tipos y ejemplos)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Enlaces con problemas de funciones:

Mapa Conceptual: Asíntotas de funciones (tipos y ejemplos)

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Fecha publicación: 10.12.2019

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