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Concepto de límite de una función

tipo de documento Matematiques - Tutorial

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En esta página explicamos intuitivamente el concepto de límite de una función (de una variable: x), tanto en un punto finito como infinito.

1. Límite en un punto finito

Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende al punto a es L si la función toma valores cada vez más cercanos a L cuando x toma valores cada vez más cercanos al punto a.

Lo expresamos mediante

Ejemplo:

Consideremos la función f(x) = x^2. Para calcular su límite en el punto x = 2, damos a valores cercanos a 2 por su izquierda y su derecha.

Por la izquierda:

Por la derecha:

Se observa que la función tiende a 4 por ambos lados de 2. Por tanto, su límite es 4:

Gráfica de la función:

Si la función tiende a puntos distintos por uno y otro lado del punto a, entonces no existe el límite de la función en dicho punto.

Observad que, normalmente, el límite de f(x) en el punto a coincide con su imagen, es decir, con f(a) . Para ser más exactos, esto ocurre en las funciones que son continuas en el punto a.

Un ejemplo de función discontinua es f(x) = 1/(x^2) , cuyo límite cuando x tiende a 0 no coincide con f(0) porque la función ni siquiera está definida en dicho punto (no podemos dividir entre 0).

2. Límite en un punto infinito

Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a más infinito (+∞) es L si la función toma valores cada vez más cercanos a L cuando x crece indefinidamente.

Lo expresamos mediante

Análogamente, el límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito (-∞) es L si la función toma valores cada vez más cercanos a L cuando x decrece indefinidamente.

Lo expresamos mediante

Ejemplos:

El límite de la función cuadrado es infinito:

Y el límite de su inverso es 0:

El límite es 0 porque un cociente positivo toma valores positivos más pequeños a medida que su denominador aumenta. Por tanto, cuando el denominador tiende a infinito, el cociente tiende a 0.

Gráfica de la función:

Más ejemplos

Límite 1

Concepto de límite de una función

Los polinomios son funciones continuas, así que su límite en un punto finito a siempre es f(a).

Calculamos el límite sustituyendo el punto:

Gráfica de la función:

Concepto de límite de una función

El límite de un polinomio cuando x tiende a infinito (positivo o negativo) siempre es infinito. El signo del infinito del límite depende el grado y del coeficiente principal del polinomio.

Límite 2

Concepto de límite de una función

El seno de 0 es 0 y, por tanto, su cuadrado también es 0.

Como un cuadrado es siempre no negativo, el denominador tiende a 0 por ambos lados.

Cuando el denominador de una fracción positiva decrece, el cociente crece. Por tanto, cuando x se acerca a 0, la función toma valores muy grandes. Es decir, el límite es infinito: