Euler line

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Euler line

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En géométrie euclidienne, dans un triangle non équilatéral, l'orthocentre, le centre de gravité ou isobarycentre et le centre du cercle circonscrit sont alignés et ne sont pas confondus. On appelle droite d'Euler la droite passant par ces trois points. C'est le mathématicien suisse Leonhard Euler qui démontra le premier que ces points étaient alignés, en établissant la relation vectorielle dite relation d'Euler : La droite passe également par le centre du cercle des neuf points, qui est le milieu du segment, ainsi que par d'autres points remarquables du triangle. En revanche, elle ne passe pas par le centre du cercle inscrit au triangle, sauf si celui-ci est isocèle. Démonstration de la relation d'Euler Soit le point défini par La relation de Chasles donne Or est le milieu de donc D'où, ce qui donne Par définition de la droite est la médiatrice du segment, donc lui est perpendiculaire. La relation vectorielle établie juste au-dessus montre alors que la droite est aussi perpendiculaire à, donc est une hauteur du triangle . De même, et sont des hauteurs de, donc appartient aux trois hauteurs de ce triangle et en est donc l'orthocentre . On a donc Par la relation de Chasles, on a Or (car est le centre de gravité du triangle). On obtient finalement la relation d'Euler, qui montre que les points, et sont alignés dans cet ordre. et donc, d'après la relation d'Euler ci-dessus, où et est le rayon du cercle circonscrit à . Démonstration de la longueur ΩG est l'isobarycentre des points A, B et C, c'est-à-dire : est le centre du cercle circonscrit à cercle de rayon donc : On a donc : Considérons maintenant le point, symétrique de par rapport au milieu de D'une part, D'autre part, est un parallélogramme, et la règle du parallélogramme indique que : Donc et finalement :