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Función continua (definición y ejemplos)

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Intuitivamente, una función es continua cuando podemos representar su gráfica de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel.

Ejemplos:

Ejemplo de una función continua:

Definimos función continua y discontinua, mostramos algunos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Funciones polinómicas, funciones racionales, funciones definidas a trozos, funciones con raíces y funciones trigonométricas. ESO y Bachillerato. Matemáticas. Continuidad de funciones.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La gráfica se puede representar de un trazo porque es una recta.

Ejemplo de una función no continua:

Definimos función continua y discontinua, mostramos algunos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Funciones polinómicas, funciones racionales, funciones definidas a trozos, funciones con raíces y funciones trigonométricas. ESO y Bachillerato. Matemáticas. Continuidad de funciones.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Necesitamos realizar dos trazos para representar la gráfica. Esta función es discontinua en el punto x=0. Esto ocurre porque x=0 no tiene imagen:

Definimos función continua y discontinua, mostramos algunos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Funciones polinómicas, funciones racionales, funciones definidas a trozos, funciones con raíces y funciones trigonométricas. ESO y Bachillerato. Matemáticas. Continuidad de funciones.

 

 

 

La función es continua en los reales excepto 0.

Definición formal

Una función f es continua en el punto x=a si el límite de la función por ambos lados de a coincide con su imagen, f(a).

Es decir, f es continua en x=a si

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Si esto no ocurre, o bien, no existe f(a), se dice que f es discontinua en el punto x=a.

Una función es continua si es continua en todos los puntos de su dominio.

 

Ejemplo

La función f(x)=1/x no es continua en 0 porque sus límites laterales no coinciden y, además, no existe la imagen de 0:

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Casos generales

Podemos asegurar de antemano la continuidad de algunas funciones:

  • Una función polinómica es continua en todos los reales.
  • Una función racional es continua en los reales que no anulan su denominador.
  • Una función logarítmica es continua en los reales que hacen su argumento positivo.

Ejemplo 1

Estudiamos la continuidad de la función

Definimos función continua y discontinua, mostramos algunos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Funciones polinómicas, funciones racionales, funciones definidas a trozos, funciones con raíces y funciones trigonométricas. ESO y Bachillerato. Matemáticas. Continuidad de funciones.

 

 

La función raíz cuadrada es continua en los puntos para los cuales el radicando es no negativo. Tenemos que hallar estos puntos.

Igualamos el radicando a 0 y resolvemos la ecuación:

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Estas dos soluciones dividen la recta real en tres intervalos:

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En uno o dos de estos intervalos, el radicando de la función es no negativo. Para saber cuál es, sólo tenemos que escoger algún punto al azar de cada intervalo.

Primer intervalo:

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Segundo intervalo:

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Tercer intervalo:

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Por tanto, el radicando es no negativo en el primer y tercer intervalo. Luego la función es continua en

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Observad que incluimos los puntos x=2 y x=-2 porque para estos valores el radicando es 0.

Gráfica de la función:

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Ejemplo 2

Estudiamos la continuidad de la función definida a trozos

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La función es continua en cada uno de los tres intervalos puesto que se trata de polinomios. Los posibles candidatos a puntos de discontinuidad son los extremos de los intervalos: x=0 y x=1.

Vamos a calcular los límites laterales en estos puntos.

Punto x=0:

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Punto x=1:

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El único punto de discontinuidad es x=0.

Gráfica de la función:

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Enlaces con problemas de funciones:

Mapa Conceptual sobre "Función continua (definición y ejemplos)"

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Fecha publicación: 10.12.2019

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