Panel Informazioa

Utilizamos cookies propias y de terceros para mejorar tu experiencia de navegación. Al continuar con la navegación entendemos que aceptas nuestra política de cookies (actualizada el 20-05-2019).

96429 materialEducativo

textoFiltroFicha

Función continua (definición y ejemplos)

tipo de documento Matematika - Unitate didaktikoa

  • Gustatzen zait 0
  • Bisitak 85
  • Oharrak 0
  • Hemen gorde:
  • Acciones

Baliabide honi buruz...

Intuitivamente, una función es continua cuando podemos representar su gráfica de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel.

Ejemplos:

Ejemplo de una función continua:

Definimos función continua y discontinua, mostramos algunos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Funciones polinómicas, funciones racionales, funciones definidas a trozos, funciones con raíces y funciones trigonométricas. ESO y Bachillerato. Matemáticas. Continuidad de funciones.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La gráfica se puede representar de un trazo porque es una recta.

Ejemplo de una función no continua:

Definimos función continua y discontinua, mostramos algunos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Funciones polinómicas, funciones racionales, funciones definidas a trozos, funciones con raíces y funciones trigonométricas. ESO y Bachillerato. Matemáticas. Continuidad de funciones.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Necesitamos realizar dos trazos para representar la gráfica. Esta función es discontinua en el punto x=0. Esto ocurre porque x=0 no tiene imagen:

Definimos función continua y discontinua, mostramos algunos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Funciones polinómicas, funciones racionales, funciones definidas a trozos, funciones con raíces y funciones trigonométricas. ESO y Bachillerato. Matemáticas. Continuidad de funciones.

 

 

 

La función es continua en los reales excepto 0.

Definición formal

Una función f es continua en el punto x=a si el límite de la función por ambos lados de a coincide con su imagen, f(a).

Es decir, f es continua en x=a si

Definimos función continua y discontinua, mostramos algunos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Funciones polinómicas, funciones racionales, funciones definidas a trozos, funciones con raíces y funciones trigonométricas. ESO y Bachillerato. Matemáticas. Continuidad de funciones.

 

 

 

 

Si esto no ocurre, o bien, no existe f(a), se dice que f es discontinua en el punto x=a.

Una función es continua si es continua en todos los puntos de su dominio.

 

Ejemplo

La función f(x)=1/x no es continua en 0 porque sus límites laterales no coinciden y, además, no existe la imagen de 0:

Definimos función continua y discontinua, mostramos algunos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Funciones polinómicas, funciones racionales, funciones definidas a trozos, funciones con raíces y funciones trigonométricas. ESO y Bachillerato. Matemáticas. Continuidad de funciones.

 

 

 

 

 

 

Casos generales

Podemos asegurar de antemano la continuidad de algunas funciones:

  • Una función polinómica es continua en todos los reales.
  • Una función racional es continua en los reales que no anulan su denominador.
  • Una función logarítmica es continua en los reales que hacen su argumento positivo.

Ejemplo 1

Estudiamos la continuidad de la función

Definimos función continua y discontinua, mostramos algunos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Funciones polinómicas, funciones racionales, funciones definidas a trozos, funciones con raíces y funciones trigonométricas. ESO y Bachillerato. Matemáticas. Continuidad de funciones.

 

 

La función raíz cuadrada es continua en los puntos para los cuales el radicando es no negativo. Tenemos que hallar estos puntos.

Igualamos el radicando a 0 y resolvemos la ecuación:

Definimos función continua y discontinua, mostramos algunos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Funciones polinómicas, funciones racionales, funciones definidas a trozos, funciones con raíces y funciones trigonométricas. ESO y Bachillerato. Matemáticas. Continuidad de funciones.

 

 

 

 

Estas dos soluciones dividen la recta real en tres intervalos:

Definimos función continua y discontinua, mostramos algunos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Funciones polinómicas, funciones racionales, funciones definidas a trozos, funciones con raíces y funciones trigonométricas. ESO y Bachillerato. Matemáticas. Continuidad de funciones.

 

 

 

En uno o dos de estos intervalos, el radicando de la función es no negativo. Para saber cuál es, sólo tenemos que escoger algún punto al azar de cada intervalo.

Primer intervalo:

Definimos función continua y discontinua, mostramos algunos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Funciones polinómicas, funciones racionales, funciones definidas a trozos, funciones con raíces y funciones trigonométricas. ESO y Bachillerato. Matemáticas. Continuidad de funciones.

 

 

 

Segundo intervalo:

Definimos función continua y discontinua, mostramos algunos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Funciones polinómicas, funciones racionales, funciones definidas a trozos, funciones con raíces y funciones trigonométricas. ESO y Bachillerato. Matemáticas. Continuidad de funciones.

 

 

 

Tercer intervalo:

Definimos función continua y discontinua, mostramos algunos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Funciones polinómicas, funciones racionales, funciones definidas a trozos, funciones con raíces y funciones trigonométricas. ESO y Bachillerato. Matemáticas. Continuidad de funciones.

 

 

 

Por tanto, el radicando es no negativo en el primer y tercer intervalo. Luego la función es continua en

Definimos función continua y discontinua, mostramos algunos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Funciones polinómicas, funciones racionales, funciones definidas a trozos, funciones con raíces y funciones trigonométricas. ESO y Bachillerato. Matemáticas. Continuidad de funciones.

 

 

Observad que incluimos los puntos x=2 y x=-2 porque para estos valores el radicando es 0.

Gráfica de la función:

Definimos función continua y discontinua, mostramos algunos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Funciones polinómicas, funciones racionales, funciones definidas a trozos, funciones con raíces y funciones trigonométricas. ESO y Bachillerato. Matemáticas. Continuidad de funciones.

 

 

 

 

 

 

Ejemplo 2

Estudiamos la continuidad de la función definida a trozos

Definimos función continua y discontinua, mostramos algunos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Funciones polinómicas, funciones racionales, funciones definidas a trozos, funciones con raíces y funciones trigonométricas. ESO y Bachillerato. Matemáticas. Continuidad de funciones.

 

 

 

 

La función es continua en cada uno de los tres intervalos puesto que se trata de polinomios. Los posibles candidatos a puntos de discontinuidad son los extremos de los intervalos: x=0 y x=1.

Vamos a calcular los límites laterales en estos puntos.

Punto x=0:

Definimos función continua y discontinua, mostramos algunos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Funciones polinómicas, funciones racionales, funciones definidas a trozos, funciones con raíces y funciones trigonométricas. ESO y Bachillerato. Matemáticas. Continuidad de funciones.

 

 

 

 

Punto x=1:

Definimos función continua y discontinua, mostramos algunos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Funciones polinómicas, funciones racionales, funciones definidas a trozos, funciones con raíces y funciones trigonométricas. ESO y Bachillerato. Matemáticas. Continuidad de funciones.

 

 

 

 

El único punto de discontinuidad es x=0.

Gráfica de la función:

Definimos función continua y discontinua, mostramos algunos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Funciones polinómicas, funciones racionales, funciones definidas a trozos, funciones con raíces y funciones trigonométricas. ESO y Bachillerato. Matemáticas. Continuidad de funciones.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Enlaces con problemas de funciones:

Mapa Conceptual sobre "Función continua (definición y ejemplos)"

Contenido exclusivo para miembros de

D/i/d/a/c/t/a/l/i/a
Saioa hasteko

Mira un ejemplo de lo que te pierdes

Fecha publicación: 10.12.2019

Baliabidearen jatorrizko lizentzia errespetatzen da.

Aipatu

0

Aipatu nahi al duzu? Erregistratu o Hasi saioa

Únete a Didactalia

Navega entre 96429 recursos y 430687 personas

Regístrate >

O conéctate a través de:

Si ya eres usuario, Inicia sesión

Premio Espiral

¿Quieres acceder a más contenidos educativos?

Erregistratu Acceso usuarios
Didactalia-ri Gehitzea
Ayuda juegos
Juegos de anatomía
Selecciona nivel educativo
    Mapas

    CARGANDO...

    Ir a Mapas
    CienciasNaturales

    CARGANDO...

    Ir a juegos de ciencias
    Un museo virtual con más de 17.000 obras de arte

    CARGANDO...

    Ir a Mis Museos
    Biblioteca

    CARGANDO...

    Ir a BNEscolar
    EduBlogs

    CARGANDO...

    Ir a Edublogs
    Odite

    CARGANDO...

    Ir a Odite
    Teknologiarekin GNOSS