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Regla de L'Hôpital (cálculo de límites)

tipo de documento Matemáticas - Tutorial

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La regla la usaremos para calcular límites con la indeterminación del tipo 0/0 y la de infinito dividido infinito. En realidad, como veremos en los ejemplos, podemos usarla para otro tipo de indeterminaciones.

Si tenemos las indeterminaciones

Regla de L'Hôpital (cálculo de límites)

 

 

Derivamos en el numerador y en el denominador para calcular el límite.

Dicho matemáticamente (de forma no rigurosa):

Regla de L'Hôpital (cálculo de límites)

 

 

 

Podemos aplicar la regla tantas veces como queramos, siempre que tengamos la indeterminación cociente de infinitos o de ceros. La regla es cierta tanto para los límites con x tendiendo a un punto como a infinito.

 

Ejemplo 1: 

límite por L'Hôpital de una función racional con funciones trigonométricas en el numerador

 

 

Tenemos una indeterminación del tipo infinito entre infinito. Aplicamos L’Hôpital (segunda regla)

límite por L'Hôpital de una función racional con funciones trigonométricas en el numerador

 

 

Seguimos con la misma indeterminación, y seguirá siendo mientras tengamos x en el denominador. Aplicamos la regla dos veces más:

límite por L'Hôpital de una función racional con funciones trigonométricas en el numerador

 

 

En realidad podemos calcular el límite sin aplicar L’Hôpital ya que sabemos que una exponencial crece más rápido que una función polinómica.

 

Ejemplo 2:

limite de tangente

 

 

Tenemos en un principio la indeterminación cero por infinito. Pero notemos que podemos que podemos escribir el límite como

limite de tangente

 

 

 

De este modo tenemos la indeterminación cero dividido cero y, por tanto, podemos aplicar L’Hôpital.

Sin embargo, para facilitar los cálculos, también podemos escribir

limite de tangente

 

 

Ahora tenemos infinito dividido infinito, con lo que aplicaremos L’Hôpital, pero en este caso la derivada del denominador se calcula más rápido

limite de tangente

 

 

 

 

Tenemos la indeterminación cero dividido cero. Aplicamos L’Hôpita

limite de tangente

 

 

 

 

 

Tenemos otra vez cero dividido cero. Aplicamos L’Hôpital

limite de tangente

 

 

 

 

 

 

 

Enlaces: 

Mapa Conceptual: Regla de L'Hôpital (cálculo de límites)

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Fecha publicación: 6.4.2018

Se respeta la licencia original del recurso.

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