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Las cónicas como lugares geométricos. Trazado

tipo de documento Matemáticas - Secuencia didáctica

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Las cónicas como lugares geométricos. Trazado

Ficha resumen

Descripción:

Se llaman curvas cónicas a todas aquellas que se obtienen cortando un cono con un plano. Debido a su origen las curvas cónicas se llaman a veces secciones cónicas. El matemático griego Menecmo (vivió sobre el 350 A.C.) descubrió estas curvas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía. Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas. Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie cónica con un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices. Las hipérbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie cónica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (base y arista). Las parábolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano paralelo a una sola generatriz (arista). Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas. Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira. Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el sol. Existe la leyenda de que Arquímedes (287-212 A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos. En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada. En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. El resultado más sorprendente de la Geometría Analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cónicas y se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672). Sin lugar a dudas las cónicas son las curvas más importantes que la geometría ofrece a la física. Por ejemplo, las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace más importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica. El astrónomo alemán Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el caso de la tierra la excentricidad es 0.017 y los demás planetas varían desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutón.. Más tarde el célebre matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727) demostró que la órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cónica.

Orientación didáctica:

TIPO DE CONOCIMIENTO: procedimental

CONOCIMIENTOS PREVIOS: No son necesarios, los conceptos se tratan el año actual.

OBJETIVOS * Conocer los focos de la elipse y la propiedad que la identifica. * Distinguir la forma de una elipse según sea la suma de las distancias a los focos. * Reconocer en una elipse los ejes mayor y menor. * Conocer la relación que hay en una elipse entre las medidas de los ejes mayor y menor y la distancia focal. * Conocer los focos de la hipérbola y la propiedad que la identifica. * Distinguir la forma de una hipérbola según sea la diferencia de las distancias a los focos. * Reconocer en una hipérbola los ejes real e imaginario. * Conocer la relación que hay en una hipérbola entre las medidas de los ejes real e imaginario y la distancia focal. * Conocer el vértice, el foco y la directriz de la parábola, y la propiedad que la identifica. * Distinguir la forma de una parábola según sea la distancia del foco a la directriz. * Conocer el significado geométrico de la excentricidad de elipses e hipérbolas, y saber calcularla. * Conocer la propiedad de reflexión en las distintas cónicas.

Licencia:
creative commons: reconocimiento - no comercial - compartir igual
Descripción licencia:

La utilización de estos contenidos es universal, gratuita y abierta, siempre y cuando se trate de un uso educativo no comercial. Las acciones, productos y utilidades derivadas de su utilización no podrán, en consecuencia, generar ningún tipo de lucro. Asímismo, es obligada la referencia de la fuente.

Destinatario:
alumno
Contexto:
compañero

General

Idioma:
castellano
Palabras clave: cónicas parábola circunferencia reflexión elipse hipérbola
Ambito: universal
Estructura:
lineal
Nivel de agregación:
Secuencia Didáctica
Nodo:
URL repositorio: /repositorio/05022010/e9/es_2010020513_9112248
IMS Manifest Descargar fichero

Técnica

Formato:
image/gif
image/jpeg
text/html
Tamaño: 268
Tipo requerimiento:
navegador
Nombre requerimiento:
cualquiera
Tipo requerimiento:
sistema operativo
Nombre requerimiento:
multi-os
Consideraciones instalación:

No requiere instalación

Otros requisitos plataforma:

Instalar y activar en local el interprete de Java y el Plugin del applet Descartes.

Uso Educativo

Tipo recurso educativo:
escenario real o virtual de aprendizaje
Tipo interacción:
combinado
Nivel interacción:
medio
Densidad semántica:
alta
Edad: 16
Dificultad:
difícil
Tiempo aprendizaje: tres sesiones lectivas
Idioma educativo:
castellano
Proceso cognitivo:
analizar
aplicar

Derechos

Coste licencia:
no
Tipo acceso:
universal
Descripción acceso:

es_cnice_20080623,es_{nodo}_20080923,es_clm_20091103121523455,es_murcia_20080422121523455,es_valencia_20081215,es_contenidos_20080623,es_canarias_20090114,es_aragon_20080930,es_larioja_20081107,es_cantabria_20081215,es_extremadura_20090126,es_navarra_20090202,es_castillayleon_20080422121523455,es_andalucia_20090324

Clasificación

Fecha publicación: 29.3.2015

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