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Teorema del emparedado o del sándwich (con ejemplo)

tipo de documento Matemàtiques - Tutorial

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Sobre aquest recurs...

En esta página enunciamos el teorema del emparedado (sin demostración) y lo aplicamos para calcular el límite de la función sin⁡(x)/x cuando x tiende a infinito positivo.

1. Introducción

El teorema del emparedado o del sándwich es un teorema que permite calcular el límite de funciones que se encuentran acotadas por otras dos funciones cuyos límites son iguales.

Se trata de un resultado muy intuitivo y existen varias versiones (para sucesiones, series, funciones con varias variables, etc.).

teorema del emparedado

 

 

 

 

 

 

 

2. Teorema del emparedado

Sean gf y h funciones definidas en el intervalo I que contiene al punto a tales que

Teorema del emparedado o del sándwich

 

 

 

Supongamos también que

Teorema del emparedado o del sándwich

 

 

Entonces,

Teorema del emparedado o del sándwich (con ejemplo)

 

 

Nota: las funciones pueden no estar definidas en el punto a.
Nota 2: L debe ser finito.

3. Ejemplo de aplicación

Teorema del emparedado o del sándwich

 

 

 

Como el seno toma valores en el intervalo [−1,1],

Teorema del emparedado o del sándwich

 

 

Sólo tenemos que dividir entre x en esta relación para poder aplicar el teorema.

Como estamos calculando el límite cuando x tiende a +infinito, podemos considerar x>0 y, por tanto, podemos dividir entre x sin cambiar los signos de desigualdad:

Teorema del emparedado o del sándwich (con ejemplo)

 

 

 

Como el límite de -1/x y el de 1/x coinciden y es igual a 0, por el teorema del emparedado, tenemos

Teorema del emparedado o del sándwich

 

 

 

Nota: No podemos aplicar este mismo razonamiento para calcular el límite cuando x tiende a 0 porque los límites de las funciones utilizadas (±1/x) son distintos e infinitos. No obstante, podemos calcular su límite aplicando el mismo teorema, pero con funciones distintas.

Más ejemplos, versiones y demostración en teorema del emparedado.

 

Temas de límites:

Mapa Conceptual sobre "Teorema del emparedado o del sándwich (con ejemplo)"

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Fecha publicación: 25.6.2019

Es respecta la llicència original del recurs.

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2

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2019/06/25 01:38

¡Buen contenido!

Eso es, muchas gracias por este recurso ;)

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