El cálculo diferencial básico (nivel bachillerato) nos permite resolver problemas de optimización. En estos problemas, se desea encontrar los puntos de máximos y/o mínimos de una función, es decir, se maximiza o minimiza una función.

Ejemplo de problema: Encontrar parejas de números x e y tales que y sea el doble del cuadrado de x y que la resta de sus cuadrados (x^2 - y^2) sea máxima.

La función que debe optimizarse en este problema es f(x) = x^2 - y^2. 

Método de resolución

Para resolver este tipo de problemas, seguiremos el siguiente esquema:

1. Encontrar la función que se debe maximizar o minimizar.
2. Calcular la derivada de la función .
3. Igualar a 0 la derivada de para encontrar los puntos críticos (puntos candidatos para ser extremos).
4. Estudiar la monotonía de la función en los intervalos que determinan los puntos críticos para determinar si son o no extremos (criterio de la primera derivada). Este paso se puede omitir si se aplica el criterio de la segunda derivada.

Resolución del problema del ejemplo: 

La función que debemos maximizar es f(x) = x^2-y^2. Esta función tiene dos variables, pero como y debe ser el doble de x^2, tenemos que y = 2x^2. Sustituimos en la función:



Derivamos:



Puntos críticos:



Los puntos críticos son x = 0 y



Analizando la monotonía, la función tiene máximos en los puntos



Por tanto, las parejas de números que buscamos son

Enlace: Problemas resueltos de Optimización.

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