La derivada, una herramienta fundamental en cálculo, nos permite explorar y comprender cómo cambian las funciones en relación con sus variables independientes. En este viaje matemático, nos enfocaremos en la derivada de la resta, una regla que desempeña un papel crucial en el análisis de funciones complejas mediante el concepto del cálculo diferencial. Exploraremos su definición, demostraremos su validez y aplicaremos esta regla en ejemplos prácticos.

Definición de la regla de la derivada de la resta:

La regla de la derivada de la resta nos proporciona una manera eficaz de derivar funciones que involucran operaciones de resta. Si tenemos dos funciones \(f(x)\) y \(g(x)\), la derivada de su diferencia, \(h(x) = f(x) - g(x)\), se puede calcular aplicando la regla de la derivada de la resta de la siguiente manera:

\[ h'(x) = f'(x) - g'(x) \]

Esta regla nos permite simplificar el proceso de derivar funciones complejas al dividirlo en pasos más manejables.

Demostración d ela regla de la derivada de la resta

La demostración de la regla de la derivada para la resta implica aplicar la definición de derivada y manipular expresiones algebraicas para llegar al resultado deseado. Vamos a realizar la demostración paso a paso.

Paso 1: Definición de la derivada:
La derivada de una función \( f(x) \) en un punto \( c \) se define como el límite cuando \( h \) tiende a cero de la expresión \(\frac{f(c + h) - f(c)}{h}\). Aplicamos esta definición a \( f(x) \) y \( g(x) \):

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \]
\[ g'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \]

Paso 2: Definición de \( h(x) \):

Dado que \( h(x) = f(x) - g(x) \), podemos escribir \( h(x + h) = f(x + h) - g(x + h) \).

Paso 3: Expansión y Simplificación:

Sustituimos estas definiciones en la expresión que queremos derivar:

\[ h'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{[f(x + h) - g(x + h)] - [f(x) - g(x)]}{h} \]

Expandimos y simplificamos los términos:

\[ h'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - g(x + h) - f(x) + g(x)}{h} \]

Paso 4: Factorización:

Agrupamos los términos relacionados con \( f \) y \( g \):

\[ h'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} - \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \]

Paso 5: Uso de las Definiciones de \( f'(x) \) y \( g'(x) \):

Observamos que los dos términos en esta expresión son idénticos a las definiciones de \( f'(x) \) y \( g'(x) \). Aplicamos estas definiciones:

\[ h'(x) = f'(x) - g'(x) \]

Ejemplos explicados paso a paso:

Ejemplo 1:

Dadas las funciones \(f(x) = 3x^2\) y \(g(x) = 2x + 1\), encontraremos la derivada de \(h(x) = f(x) - g(x)\).

Paso 1: Definición de \(h(x)\)

\[ h(x) = f(x) - g(x) = 3x^2 - (2x + 1) \]

Paso 2: Aplicación de la Regla de la Derivada de la Resta
\[ h'(x) = f'(x) - g'(x) = 6x - 2 \]

Ejemplo 2:

Consideremos \(f(x) = \sin(x)\) y \(g(x) = e^x\). Encontraremos la derivada de \(h(x) = f(x) - g(x)\).

Paso 1: Definición de \(h(x)\)
\[ h(x) = f(x) - g(x) = \sin(x) - e^x \]

Paso 2: Aplicación de la Regla de la Derivada de la Resta
\[ h'(x) = f'(x) - g'(x) = \cos(x) - e^x \]

Ejemplo 3:

Tomemos \(f(x) = \ln(x)\) y \(g(x) = 2x^3\). Encontraremos la derivada de \(h(x) = f(x) - g(x)\).

Paso 1: Definición de \(h(x)\)
\[ h(x) = f(x) - g(x) = \ln(x) - 2x^3 \]

Paso 2: Aplicación de la Regla de la Derivada de la Resta
\[ h'(x) = f'(x) - g'(x) = \frac{1}{x} - 6x^2 \]

A través de estos ejemplos, hemos explorado la aplicación práctica de la regla de la derivada de la resta, permitiéndonos abordar problemas más complejos con mayor facilidad y eficiencia. La derivada de la resta emerge como una herramienta esencial en el arsenal del calculista, allanando el camino para el análisis detallado de funciones en el emocionante mundo del cálculo.