Teorema De Leonardo.

Existen cinco, y solo cinco, Poliedros Regulares Estrellados.

Los cinco poliedros regulares cóncavos estrellados están representados por el Conjunto W:

W= {4(6, 3)  + 4(3, 3), 8(6, 3) + 6 (4, 3), 20(6, 3) + 12(5, 3), 6(8, 3) + 8(3, 3), 12(10, 3) + 20(3, 3)}

Tesis:

Demostrar que el conjunto W está compuesto por los únicos  poliedros regulares cóncavos estrellados que existen.

Demostración: 

A) A =2mn / 2n+2n – mn: Como los poliedros regulares convexos son los que generan los poliedros regulares cóncavos estrellados, utilizaremos las fórmulas de Euler: C = 2A /n, V = 2A /m, donde  C + V - A = 2.sustituyendo: C + V - A =

2A /m + 2A /n – A = 2.

Multiplicando por (1/2A) (2A /m + 2A /n – A = 2) = (2A/2Am +2A/2An – A/2A = 2/2A).

Reduciendo = 1/m + 1/n – 1/2 = 1/A

Resolviendo el primer miembro de la igualdad y sustituyendo

2n + 2m – mn /2mn = 1/A

Transponiendo A y 2mn

A (2n + 2m – mn) = 2mn despejando (A), tenemos  A=2mn/2m+2n-mn.

B) 3 = b, 3 = n: Como los poliedros regulares cóncavos estrellados están todos compuestos por caras poliédricas que son triángulos equiláteros entonces siempre b = n =3, por ley transitiva de la igualdad b = 3.
 

C) J (2a, b) + T (m, n): es designado con el nombre de BISPAR POLIÉDRICO, en el cual J (2a, b) es el primer miembro del bispar poliédrico y : es el segundo miembro del bispar poliédrico. Los poliedros estrellados poseen dos clases de vértices que están representados por la variable (T) y la variable (J). Teniendo en cuenta que para el primer miembro del bispar poliédrico cóncavo J (2a, b), 360 ≤ s ≤ 720. La suma de los ángulos del conjunto de polígonos comunes a un vértices es mayor o igual a cuatro ángulos rectos y menor o igual que ocho ángulos rectos. Para el segundo miembro del bispar poliédrico T (m, n) teniendo en cuenta que , 360° ˃ s ≥ 180.  La suma de los ángulos del conjunto de polígono comunes a un vértice es menor que cuatro ángulos rectos

D) E=  2A: Por cada arista intermedia que forman un poliedro regular estrellado existen dos aristas estrelladas.

E) J = E /a y también J = 2A / a: Porque la cantidad de vértices cóncavo intermedio  es directamente proporcional a la cantidad total de sus aristas exteriores, e inversamente proporcional a la cantidad de aristas intermedias que convergen en unos de los vértice cóncavo intermedio. Por lo tanto. esto se cumple en J (2a, b).
 

F) F = E, y también F=2A: Porque la cantidad de caras exteriores de un poliedro estrellado es directamente proporcional a la cantidad de aristas exteriores del poliedro estrellado: Esto es debido a que cuando estamos formando una estelación regular la cantidad de aristas exteriores aumentan en la misma proporción que la cantidad de caras exteriores. Los poliedros estrellados tienen sus leyes diferentes a los poliedros convexos, por lo tanto se cumple J (2a, b); F + T – E = T, donde T ≥ 4: Como el tetraedro estrellado Davinciano es el poliedro regular estrellado que posee la menor cantidad de vértices exteriores y tiene 4 vértices exteriores. Entonces la nueva  ley que siempre se cumple en los poliedros regulares estrellados es: F + T – E = ≥ 4.
 

G) T = 2A  / m: Se cumple en (m, n).

H) T = E/m: Se cumple en (m, n).

I) A=E /2: Despejando la fórmula que está en el literal (D). 
 

J) E = 4ab /2a + 2b - ab: Si  en la fórmula del literal (D): E=2A, a = m, b = n, sustituimos en el literal (A) el valor de la arista intermedia y efectuamos la operación E=2 (2mn / 2m + 2n – mn), sustituyendo las variables m, n, por las variables a, b. tenemos: E = 4ab /2a + 2b – ab, por ley transitiva de la igualdad es válida para el primer miembro del bispar poliédrico J (2a, b).
 

K) Primera ley de la estelación de un poliedro regular: Cuando se realiza una estelación de un poliedro regular convexo el conjunto de caras intermedias desaparece debido a que quedan sepultadas debajo del conjunto de las caras exteriores del poliedro nuevo que se ha formado.
 

L) Segunda ley de la estelación de un poliedro regular: Cuando se realiza una estelación de un poliedro regular convexo el poliedro nuevo que se ha formado es una estelación del poliedro anterior.
 

M) Símbolos de las variables: A= aristas intermedia o planas; V= vértices intermedio; C= caras intermedias o planas;  E= aristas exteriores o estrelladas; F = caras exteriores o estrelladas; T= vértices exteriores o estrellados;  n = número de lados del polígono regular; m = número de aristas que tiene un vértice; s= variable que indica la suma de los ángulos que poseen los polígonos regulares comunes a un vértice; J= es el doble de las aristas que convergen en el vértice cóncavo intermedio; La variable J= 2m y m ≥ 3; R= representa el grado de regularidad o irregularidad del poliedro seleccionado; Cuando el poliedro es irregular el grado se marca con una I, cuando el poliedro es regular el grado de regularidad no se marca.

Primera etapa siendo las variables: a ≥3. b = 3, m = 3, n = 3.

 En la primera etapa de la demostración, esgrimiendo demostraciones basadas en la reducción al absurdo, asignaremos los valores de las variables: a ≥3. b = 3, m = 3, n = 3. Sustituyendo en el  primer miembro del bispar poliédrico J (2a, b), e instauramos las fórmulas que están en los literales (J) E = 4ab /2a + 2b – ab.  (D) E=2A, (E) J = E /a, (F) F = E, Para el segundo miembro del bispar poliédrico T(m, n) utilizaremos las fórmulas que están en los literales (H) T =E/m,  (I) A=E /2.Con estos datos y las leyes que están en los literales (K) y (L) determinaremos los poliedros regulares cóncavos estrellados que correspondan a las características encontradas en la primera etapa.
 

1- Siendo a =3. b = 3, m = 3, n = 3, aplicando fórmulas y resolviendo la ecuación para determinar la cantidad de aristas exteriores: E = 4ab /2a + 2b – ab = 4 (3) (3) / 2 (3) + 2 (3) -3 (3) = 36/3 = 12 entonces E= 12, satisface la ecuación. Resolviendo el número de caras exteriores: F = E, E=12, F=12; resolviendo el número de vértices exteriores: T = E / m = 12 / 3 = 4, T = 4; resolviendo el número de vértices cóncavo intermedios: J = E /a, J= 12/3, J=4; resolviendo el número de aristas intermedias: A=E /2 =12/2=6, A=6: Sustituyendo J = 4, a =3. b = 3, en el primer miembro del bispar poliédrico J (2a, b), =4 (2(3), 3) = 4(6, 3), Sustituyendo T = 4, m=3, n=3  en el segundo miembro del bispar poliédrico T (m, n) = 4(3, 3). Aplicando las leyes de las estelaciones tenemos los siguientes resultados. Este poliedro regular cóncavo estrellado tiene 6 aristas intermedias y 12 aristas exteriores, que suma un total de 18 aristas, además posee cuatros vértices intermedios 4 (6, 3)  y cuatros vértices exteriores 4 (3, 3), lo cual  suma un total de 8 vértices; Posee 12 caras exteriores triangulares equiláteras que son congruentes entre sí. Concluimos que todas estas características indican que el poliedro es el Tetraedro estrellado Davinciano, el cual fue pintado por Leonardo da vinci en 1498 y publicado en 1508 en el libro del Monge matemático Luca Pacioli, por lo tanto concluimos que el primer poliedro regular cóncavo estrellado es el Tetraedro Estrellado Davinciano cuyo bispar poliédrico es: 4 (6, 3) + 4(3, 3).

2- Siendo a =4. b = 3, m = 3, n = 3, aplicando fórmulas y resolviendo la ecuación para determinar la cantidad de aristas exteriores: E = 4ab /2a + 2b – ab = 4 (4) (3) / 2 (4) + 2 (3) -4 (3) = 48/2 = 24 entonces E= 24, satisface la ecuación. Resolviendo el número de caras exteriores: F = E, E=24, F=24; resolviendo el número de vértices exteriores: T = E / m = 24 / 3 = 8, T = 8; resolviendo el número de vértices cóncavo intermedios: J = E /a. J = 24/4 = 6, J = 6; resolviendo el número de aristas intermedias: A=E /2 =24/2=12, A=12: Sustituyendo J = 6, a =4. b = 3, en el primer miembro del bispar poliédrico J (2a, b) = 6 (2(4), 3) = 6(8, 3), Sustituyendo T = 8, m=3, n=3  en el segundo miembro del bispar poliédrico T(m, n) = 8(3, 3). Aplicando las leyes de las estelaciones tenemos los siguientes resultados. Este poliedro regular cóncavo estrellado tiene 12 aristas intermedias y 24 aristas exteriores, que suma un total de 36 aristas, además posee 6 vértices intermedios 6 (8, 3)  y 8 vértices exteriores 8 (3, 3), lo cual  suma un total de 14 vértices; Posee 24 caras exteriores triangulares equiláteras que son congruentes entre sí. Concluimos que todas estas características indican que el poliedro es la estrella octángula de Kepler, cuyo bispar poliédrico es 6 (8, 3) + 8 (3, 3).

3- Siendo a = 5. b = 3, m = 3, n = 3, aplicando fórmulas y resolviendo la ecuación para determinar la cantidad de aristas exteriores: E = 4ab /2a + 2b – ab = 4 (5) (3) / 2 (5) + 2 (3) -5 (3) = 60/1 = 60 entonces E= 60, satisface la ecuación. Resolviendo el número de caras exteriores: F = E, E=60 por ley transitiva de la igualdad F=60; resolviendo el número de vértices exteriores: T = E / m = 60 / 3 = 20, T = 20; resolviendo el número de vértices cóncavo intermedios: J = E /a, J= 60 / 5 =12,  J=12; resolviendo el número de aristas intermedias: A = E /2 = 60 / 2 = 30, A=30: Sustituyendo J = 12, a = 5. b = 3, en el primer miembro del bispar poliédrico J (2a, b), =12 (2(5), 3) = 12(10, 3), Sustituyendo T = 20, m=3, n=3  en el segundo miembro del bispar poliédrico T(m, n) = 20(3, 3). Aplicando las leyes de las estelaciones tenemos los siguientes resultados. Este poliedro regular cóncavo estrellado tiene 30 aristas intermedias y 60 aristas exteriores, que suma un total de 90 aristas, además posee 12 vértices intermedios 12 (10, 3)  y 20 vértices exteriores 20 (3, 3), lo cual  suma un total de 32 vértices; Posee 60 caras exteriores triangulares equiláteras que son congruentes entre sí. Concluimos que todas estas características indican que el poliedro es el icosaedro estrellado Davinciano, el cual fue pintado por Leonardo Da vinci en 1498 y publicado en 1508 en el libro del Monge matemático Luca Pacioli, por lo tanto concluimos que el tercer poliedro regular cóncavo estrellado es el icosaedro Estrellado Davinciano cuyo bispar poliédrico es: 12(10, 3) + 20 (3, 3)

4- Siendo a =6. b = 3, m = 3, n = 3, aplicando fórmulas y resolviendo la ecuación para determinar la cantidad de aristas exteriores: E = 4ab /2a + 2b – ab = 4 (6) (3) / 2 (6) + 2 (3) -6 (3) = 72/0 = indefinido. entonces E = indefinido, no satisface la ecuación. Hemos concluido la primera etapa de la demostración siendo a ≥3.

Segunda etapa siendo el literal m ≥ 3, n = 3, a = 3. b = 3.

En la segunda etapa, usando demostraciones basada en la reducción al absurdo, asignaremos el valor a = 3. b = 3, m ≥ 3, n = 3. Sustituyendo en el miembro del bispar poliédrico T(m, n), al cual le corresponden las fórmulas que están en los literales (A) A =2mn / 2m+2n – mn, (G) T = 2A /m, y luego trabajamos con el primer miembro del bispar poliédrico J (2a, b), utilizando los literales (D) E=2A, (E) J = 2A / a , (F) F = 2A. Con estos datos y las leyes que están en los literales (K) y (L) determinaremos los poliedros regulares cóncavos estrellados que correspondan a las características encontradas en la segunda etapa.

5- Siendo m = 4, n = 3, a = 3. b = 3 aplicando fórmulas y resolviendo la ecuación para determinar la cantidad de aristas intermedias: A =2mn / 2m+2n – mn = 2 (4) (3) / 2 (4) + 2 (3) -4 (3) = 24/2 = 12 entonces A=12, satisface la ecuación. Resolviendo el número de aristas exteriores: E =2A, E=2(12)=24, E=24; resolviendo el número de caras exteriores: F = 2A, F=2(12)=24, F=24; resolviendo el número de vértices exteriores: T = 2A / m = 2(12) / 4 = 6, T = 6; resolviendo el número de vértices cóncavo intermedio  J = 2A / a = 2(12) / 3 =8, J=8; Sustituyendo J = 8, m = 4, n = 3, en el primer miembro del bispar poliédrico J (2a, b), =8 (2(3), 3) = 8(6, 3), Sustituyendo T = 6, m =4, n =3  en el segundo miembro del bispar poliédrico T(m, n) = 6(4, 3). Aplicando las leyes de las estelaciones tenemos los siguientes resultados. Este poliedro regular cóncavo estrellado tiene 12 aristas intermedias y 24 aristas exteriores, que suma un total de 36 aristas, además posee 8 vértices intermedios 8 (6, 3)  y 6 vértices exteriores 6 (4, 3), lo cual  suma un total de 14 vértices; Posee 24 caras exteriores triangulares equiláteras que son congruentes entre sí. Concluimos que todas estas características indican que el poliedro es el hexaedro estrellado Davinciano, el cual fue pintado por Leonardo Da vinci en 1498 y publicado en 1508 en el libro del Monge matemático Luca Pacioli, por lo tanto concluimos que el tercer poliedro regular cóncavo estrellado es el hexaedro estrellado Davinciano, cuyo bispar es: 8(6, 3) + 6(4, 3).

6- Siendo m = 5, n = 3, a = 3. b = 3, aplicando fórmulas y resolviendo la ecuación para determinar la cantidad de aristas intermedias: A =2mn / 2m+2n – mn = 2 (5) (3) / 2 (5) + 2 (3) -5 (3) = 30/1 = 30 entonces A=30, satisface la ecuación. Resolviendo el número de aristas exteriores: E =2A, E=2(30)=60, E=60; resolviendo el número de caras exteriores: F = E, E=60 por ley transitiva de la igualdad F=60; resolviendo el número de vértices exteriores: T = E / m = 60 / 5 = 12, T = 12; resolviendo el número de vértices cóncavo intermedios: J = 2A / a = 2 (30) / 3 = 20, J=20; Sustituyendo  J = 20, a = 3. b = 3, en el primer miembro del bispar poliédrico, J = 2A / a, =20 (2(3), 3) = 20(6, 3), Sustituyendo T = 12, m=5, n=3  en el segundo miembro del bispar poliédrico T(m, n) = 12(5, 3). Aplicando las leyes de las estelaciones tenemos los siguientes resultados. Este poliedro regular cóncavo estrellado tiene 30 aristas intermedias y 60 aristas exteriores, que suma un total de 90 aristas, además posee 20 vértices intermedios 20 (6, 3)  y 12 vértices exteriores 12 (5, 3), lo cual  suma un total de 32 vértices; Posee 60 caras exteriores triangulares equiláteras que son congruentes entre sí. Concluimos que todas estas características indican que el poliedro es el dodecaedro  estrellado Davinciano, el cual fue pintado por Leonardo Da vinci en 1498 y publicado en 1508 en el libro del Monge matemático Luca Pacioli, por lo tanto concluimos que el quinto  poliedro regular cóncavo estrellado es el dodecaedro  estrellado Davinciano, cuyo bispar poliédrico es: 20(6, 3) + 12(5, 3)

7- Siendo m = 6, n = 3, a = 3. b = 3, aplicando fórmulas y resolviendo la ecuación para determinar la cantidad de aristas intermedias: A =2mn / 2m+2n – mn = 2 (6) (3) / 2 (6) + 2 (3) -6 (3) = 36/0 = indefinido. entonces A = indefinido, no satisface la ecuación. Hemos concluido la segunda etapa de la demostración siendo  m ≥ 3.

Conclusión.

Hemos demostrado que los poliedros regulares cóncavos estrellados son generados por los poliedros regulares convexos debido a que en cada bispar poliédrico existe un poliedro regular que es el que genera los datos para determinar el poliedro regular cóncavo estrellado.

También hemos demostrado que  el conjunto W está formado por un conjunto de cinco bispares poliédricos que representan los únicos cinco poliedros regulares cóncavos estrellados, W = {Dodecaedro estrellado Davinciano 20 (6, 3) + 12 (5, 3), Hexaedro estrellado Davinciano 8 (6, 3) + 6 (4, 3)  , Tetraedro Estrellado Davinciano 4 (6, 3) + 4 (3, 3), Estrella Octángula De Kepler 6 (8, 3) + 8 (3, 3), Icosaedro Estrellado Davinciano 12 (10, 3) + 20 (3, 3).}

Concluimos afirmando que en la humanidad no ha habido, ni habrán otros poliedros regulares cóncavos estrellados que no sean estos cinco poliedros los cuales forman el conjunto W.

L.q.q.d