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Infinito menos infinito

tipo de documento Mathématiques - Tutorial

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En esta página proporcionamos algunos ejemplos de límites con la forma indeterminada infinito menos infinito y algunos métodos que podemos utilizar para evitarla. Especialmente, hablamos sobre los límites de polinomios y de restas de raíces.

1. Indeterminación infinito menos infinito

La expresión ∞-∞ es una indeterminación puesto aparece en el límite de algunas funciones cuyo límite es distinto. Por ejemplo,

Infinito menos infinito

 

 

 

 

Las gráficas de estas funciones son

Infinito menos infinito

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Por tanto, los límites anteriores son

Infinito menos infinito

 

 

 

 

Es decir, tenemos la misma expresión algebraica (resta de infinitos), pero con resultados distintos.

2. Límite de un polinomio

Como las potencias de infinitos son infinitos, la resta de infinitos suele aparecer en el límite de los polinomios (cuando x tiende a infinito).

 

Dado un polinomio, cuando x toma valores grandes, los monomios que toman valores mayores (sin considerar el signo) son los que tienen mayor grado.

Por ejemplo, consideremos la función f(x) = x2 – x. Damos valores a x:

Infinito menos infinito

 

 

 

 

 

 

La función toma valores cada vez mayores porque el monomio de grado 2 crece más rápido que el de grado 1. Dicho en otras palabras, el infinito del monomio de grado 2 es de orden mayor que el del monomio de grado 1.

Podemos deducir que el límite es infinito positivo:

Infinito menos infinito

 

 

Por tanto, para calcular el límite, tenemos que fijarnos en el orden de los infinitos. En el límite de un polinomio, la resta de infinitos es el infinito de mayor orden (el infinito que corresponde al monomio de grado mayor es el de mayor orden).

Esto implica que, además, el signo del resultado depende del coeficiente del monomio de grado mayor. Por ejemplo,

Infinito menos infinito

 

 

 

 

Cuando x tiende a infinito negativo, es un poco más complicado. En este caso, lo más sencillo es sustituir, calcular los signos (depende de la paridad de las potencias) y comparar el orden de cada infinito.

Por ejemplo,

Infinito menos infinito

 

 

 

 

 

El resultado es infinito positivo porque el signo del infinito de mayor orden es positivo.

3. Límite de una resta de raíces

Otro ejemplo típico de la indeterminación ∞-∞ es el de la resta de raíces. Por ejemplo,

Infinito menos infinito

 

 

En estos límites, suele ser suficiente operar para transformar la resta de raíces en una suma. En el caso de las raíces cuadradas, multiplicamos y dividimos por la suma de raíces.

Por ejemplo,

Infinito menos infinito

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

De este modo, la indeterminación desaparece:

Infinito menos infinito

 

 

 

 

 

 

 

El resultado del límite es el coeficiente principal puesto que el grado de numerador y denominador son iguales.

Si las raíces son de otro orden, tenemos que utilizar las fórmulas que les corresponden. Por ejemplo, para raíces cúbicas,

Infinito menos infinito

 

 

 

4. Otros ejemplos

Ejemplo 1

Infinito menos infinito

 

 

Solución:

También tenemos la indeterminación infinito menos infinito:

Infinito menos infinito

 

 

 

 

 

 

Como se trata de una resta de fracciones, podemos operar para convertirla en una única fracción:

Infinito menos infinito

 

 

 

 

 

 

 

Por tanto,

Infinito menos infinito

 

 

 

 

 

 

Ejemplo 2

Infinito menos infinito

 

 

Solución:

Tenemos la indeterminación infinito menos infinito:

Infinito menos infinito

 

 

Sin embargo, una exponencial crece más rápidamente que un polinomio cuando  toma valores grandes,  independientemente de que el grado del exponente sea muy grande, así que

 

Infinito menos infinito

 

 

Más ejemplos y temas de límites:

Mapa Conceptual sobre "Infinito menos infinito"

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Fecha publicación: 14.6.2019

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