Una función definida a trozos es una función cuya definición cambia según el valor que toma la variable. También, recibe el nombre de función definida por partes, función segmentada y función seccionada, entre otros.

Ejemplo 1

Sea la función

Para calcular la imagen de un punto x, usamos la primera definición si x≤0 y la segunda si x>0.

Por ejemplo,

Esta función es la función valor absoluto, f(x) = |x|.

También, podemos usar intervalos en lugar de desigualdades:

La gráfica de la función es

Observad que la parte de gráfica donde x≤0 coincide con la gráfica de la función y=-x y la parte donde x>0 coincide con la de y=x.

Ejemplo 2

La siguiente función está compuesta por una función lineal y una cuadrática:

Gráfica:

Utilizamos el punto sólido y el punto vacío para enfatizar que la imagen de 1 es 2 y no -1, puesto que hay que utilizar la primera definición de la función.

Continuidad

La continuidad de una función definida a trozos depende de la continuidad de las partes que la conforman y, además, los puntos donde cambia la definición son posibles puntos de discontinuidad.

Si x=a es un punto donde cambia la definición, la función es continua en dicho punto si existen los límites laterales y son iguales a la imagen de x=a, es decir,

Ejemplo 1

La función de un ejemplo anterior

es discontinua en el punto x=1 puesto que los límites laterales no coinciden:

En los otros puntos, la función es continua.

Ejemplo 2

En la función valor absoluto, la definición cambia cuando x=0, pero los límites laterales son iguales a f(0)=0.

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