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Calcular función inversa

tipo de documento Matemáticas - Tutorial

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1. Definición 

Informalmente, sea f una función biyectiva. Entonces, su función inversa, g, es la función que proporciona las anti-imágenes del recorrido de f. Por ejemplo, si f(a) = b, entonces g(b) = a

Ejemplo: 

La inversa de la función f(x) = 2x es g(x) = x/2. Veamos que g proporciona las anti-imágenes de f

  •  f(2) = 2·2 = 4, g(4) = 4/2 = 2
  •  f(3) = 2·3 = 6, g(6) = 6/2 = 3
  •  f(-10) = 2·(-10) = -20, g(-20) = -20/2 = -10

Normalmente, la función inversa de f se denota por f^1, pero por comodidad, escribiremos g

La exigencia de que f sea biyectiva es para que la función inversa g esté bien definida. Pero no tendremos en cuenta esta propiedad ya que en este recurso sólo explicaremos cómo obtener la expresión de la función inversa de una función f

Formalmente, si f es una función biyectiva del conjunto A en el conjunto B, entonces se define su función inversa como la función g del conjunto B en el conjunto A tal que f( g(x) ) = x para todo x de B y g( f(x) ) = x para todo x de A

Ejemplo: 

Comprobamos que la inversa de la función f(x) = 2x es g(x) = x/2

Veamos que g( f(x) ) = x:

g( f(x) ) = g( 2x ) = (2x)/2 = x 

 Veamos que f( g(x) ) = x:

f( g(x) ) = f( x/2 ) = 2·(x/2) = x 

2. Obtención de la inversa 

Sea y = f(x), para obtener su función inversa y = g(x), seguimos los siguientes pasos: 

 

  •  Aislamos x en la ecuación y = f(x)
  •  Cambiamos las x por y y viceversa.

 

Ejemplo 1: 

Sea la función f(x) = (2x-1)/3

Resolvemos la ecuación y = (2x-1)/3

3y = 2x - 1 
3y + 1 = 2x 
(3y + 1)/2 = x 

Cambiamos las x por y y viceversa: 

(3x + 1)/2 = y 

Por tanto, la función inversa de f es g(x) = (3x + 1)/2
 

Ejemplo 2: 

Sea la función f(x) = raíz(x + 1) siendo x > -1

Resolvemos la ecuación y = raíz(x + 1)

y^2 =  (raíz(x + 1))^2 

y^2 = x + 1 

y^2 - 1 = x 

Cambiamos las x por y y viceversa: 

x^2 - 1  = y 

Por tanto, la función inversa de f es g(x) = x^2 - 1
 

Más información y problemas:

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Mapa Conceptual: Calcular función inversa

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Fecha publicación: 29.8.2017

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