Definición de matriz simétrica y antisimétrica y sus propiedades.

Definición de matriz simétrica

Sea A una matriz cuadrada de dimensión mxm. Entonces, A es simétrica si igual a su matriz traspuesta A^T, es decir, si A = A^T.

jemplo de matriz simétrica de dimensión 3:

Propiedades de las matrices simétricas

• La inversa de una matriz simétrica regular es simétrica.
• La matriz adjunta de una matriz simétrica es también simétrica.
• La suma de matrices simétricas es una matriz simétrica. El producto lo es si, y sólo si, también es conmutativo.
• Los autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada, real y simétrica son reales.
• Autovectores (vectores propios) de autovalores distintos de una matriz cuadrada y real son ortogonales.
• Una matriz cuadrada y real, A, es simétrica si, y sólo si, es diagonalizable mediante una matriz de paso ortogonal, Q. Es decir, Q·A·Q^(-1) = D siendo D diagonal.
• Toda matriz cuadrada A cumple que A + A^T es simétrica.

Matriz antisimétrica

Una matriz cuadrada es antisimétrica si su traspuesta es igual a su opuesta: A^T = - A.

Propiedades

• Toda matriz cuadrada A cumple que A - A^T es antisimétrica.
• Toda matriz cuadrada puede expresarse como suma de una matriz simétrica y de una antisimétrica.

Enlaces de Álgebra Matricial

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