Una función cuadrática (o parabólica) es una función polinómica de segundo grado. Es decir, tiene la forma

siendo a≠0.

Esta forma de escribir la función se denomina forma general.

Ejemplo

La gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola.

Las parábolas tienen forma de ∪ (si a>0) o de ∩ (si a<0).

Además de la orientación, el coeficiente a es la causa de la amplitud de la función: cuanto mayor es |a|, más rápido crece (o decrece) la parábola, por lo que es más cerrada.

Vértice

Las funciones cuadráticas tienen un máximo (si a<0) o un mínimo (si a>0). Este punto es el vértice de la parábola.

La primera coordenada del vértice es

Y la segunda coordenada es su imagen:

Ejemplo

Calculamos el vértice de la función

Identificamos los coeficientes:

Como a es negativo, la parábola tiene forma de ∩. El vértice es un máximo.

La primera coordenada del vértice es

Calculamos la segunda coordenada:

Por tanto, el vértice es el punto

Gráfica:

Puntos de corte

Una parábola siempre corta el eje de ordenadas (eje Y) en un punto. Como esto ocurre cuando x=0, se trata del punto (0,c) puesto que f(0)=c.

Una función corta al eje de abscisas cuando y=0. Por tanto, para hallar estos puntos de corte, tenemos que resolver una ecuación cuadrática:

Como una ecuación cuadrática puede tener una, dos o ninguna solución, puede haber uno, dos o ningún punto de corte con el eje X.

Recordamos la fórmula que necesitamos:

Forma canónica

La forma canónica de una función cuadrática es

donde a es el coeficiente principal visto ya; h es la primera coordenada del vértice y k es la segunda.

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