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Ecuaciones logarítmicas (con ejemplos)

tipo de documento Mathematics - Tutorial

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En esta página explicamos qué es una ecuación logarítmica y resolvemos tres ecuaciones representativas. Es necesario conocer las propiedades de los logaritmos, el cambio de base de los logaritmos y las propiedades de las potencias.

1. Introducción

Una ecuación logarítmica es una ecuación cuya incógnita (o incógnitas) se encuentra multiplicando o dividiendo a los logaritmos, en sus bases o en el argumento de los logaritmos (dentro de los logaritmos).

Ejemplos de ecuaciones logarítmicas:

  • Incógnita en el argumento:


ecuaciones logarítmicas resueltas y explicadas

 


La solución es x = 2.

  • Incógnita en la base:


ecuaciones logarítmicas resueltas y explicadas

 


La solución es x = raíz cúbica de 7.

  • Incógnita multiplicando al logaritmo:


ecuaciones logarítmicas resueltas y explicadas

 


La solución es x = 5/log(3).

Como ya dijimos anteriormente, para poder resolver ecuaciones logarítmicas, necesitamos conocer las propiedades de los logaritmos(incluyendo el cambio de base) y las propiedades de las potencias.

2. Ecuaciones resueltas

El método que vamos a seguir es operar en la ecuación hasta obtener, si es posible, una igualdad entre dos logaritmos en la misma base (si no se indica, consideramos que la base es 10):

ecuaciones logarítmicas resueltas y explicadas

 

 

Llegados a este punto, podemos, lógicamente, igualar los argumentos de los logaritmos:

Ecuaciones logarítmicas (con ejemplos)

 

 

Para terminar, comprobamos que la solución obtenida no hace que los argumentos de los logaritmos de la ecuación inicial sean no positivos (porque éstos deben ser siempre positivos).

Ecuación 1

ecuación logarítmica

 

 

Solución:

Como la suma de logaritmos es el logaritmo del producto,

ecuaciones logarítmicas resueltas y explicadas

 

 

 

Como ya tenemos una igualdad entre dos logaritmos en la misma base, igualamos sus argumentos:

ecuación de primer grado

 

 

Resolvemos la ecuación de primer grado:

ecuación de primer grado

 

 

 

Por tanto, la solución es x=-1.

Para terminar, comprobamos que los argumentos son positivos:

ecuaciones logarítmicas resueltas y explicadas

 

 

 

Ecuación 2

ecuación logarítmica

 

 

Solución:

Recordad que un número que multiplica a un logaritmo puede escribirse como el exponente de su argumento:

ecuaciones logarítmicas resueltas y explicadas

 

 

Igualamos argumentos:

ecuación de segundo grado

 

 

 

Resolvemos la ecuación de segundo grado completa:

ecuación de segundo grado

 

 

 

 

 

 

 

Tenemos dos soluciones:  x=3 x=-5.

La segunda solución (la negativa) no es buena porque hace que el argumento del logaritmo del lado derecho de la ecuación sea negativo.

La solución de la ecuación logarítmica es x=3.

 

Ecuación 3

ecuación logarítmica

 

 

Solución:

Como la incógnita está en la base del logaritmo, tiene que ser positiva y distinta de 1.

Para resolver esta ecuación, aplicamos un cambio de base en el logaritmo. Recordad la fórmula para cambiar la base:

cambio de base de logaritmo

 

 

 

Cambiamos a base 7:

cambio de base de logaritmos

 

 

 

 

 

Por tanto, tenemos la ecuación logarítmica

ecuaciones logarítmicas resueltas y explicadas

 

 

 

Pasamos el denominador al otro lado:

ecuaciones logarítmicas resueltas y explicadas

 

 

Escribimos el 3 en el argumento:

ecuaciones logarítmicas resueltas y explicadas

 

 

Escribimos el 1 como un logaritmo en base 7:

ecuaciones logarítmicas resueltas y explicadas

 

 

Igualamos argumentos y resolvemos la ecuación:

Ecuaciones logarítmicas (con ejemplos)

 

 

 

El argumento del logaritmo es positivo para esta solución, así que hemos hallado la solución de la ecuación logarítmica.

 

Más ecuaciones resueltas:

Enlaces a problemas/ejercicios resueltos de logaritmos:

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Fecha publicación: 19.6.2019

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