En esta página explicamos qué es una ecuación logarítmica y resolvemos tres ecuaciones representativas. Es necesario conocer las propiedades de los logaritmos, el cambio de base de los logaritmos y las propiedades de las potencias.

1. Introducción

Una ecuación logarítmica es una ecuación cuya incógnita (o incógnitas) se encuentra multiplicando o dividiendo a los logaritmos, en sus bases o en el argumento de los logaritmos (dentro de los logaritmos).

Ejemplos de ecuaciones logarítmicas:

• Incógnita en el argumento:

La solución es x = 2.

• Incógnita en la base:

La solución es x = raíz cúbica de 7.

• Incógnita multiplicando al logaritmo:

La solución es x = 5/log(3).

Como ya dijimos anteriormente, para poder resolver ecuaciones logarítmicas, necesitamos conocer las propiedades de los logaritmos(incluyendo el cambio de base) y las propiedades de las potencias.

2. Ecuaciones resueltas

El método que vamos a seguir es operar en la ecuación hasta obtener, si es posible, una igualdad entre dos logaritmos en la misma base (si no se indica, consideramos que la base es 10):

Llegados a este punto, podemos, lógicamente, igualar los argumentos de los logaritmos:

Para terminar, comprobamos que la solución obtenida no hace que los argumentos de los logaritmos de la ecuación inicial sean no positivos (porque éstos deben ser siempre positivos).

Ecuación 1

Solución:

Como la suma de logaritmos es el logaritmo del producto,

Como ya tenemos una igualdad entre dos logaritmos en la misma base, igualamos sus argumentos:

Resolvemos la ecuación de primer grado:

Por tanto, la solución es x=-1.

Para terminar, comprobamos que los argumentos son positivos:

Ecuación 2

Solución:

Recordad que un número que multiplica a un logaritmo puede escribirse como el exponente de su argumento:

Igualamos argumentos:

Resolvemos la ecuación de segundo grado completa:

Tenemos dos soluciones:  x=3 y x=-5.

La segunda solución (la negativa) no es buena porque hace que el argumento del logaritmo del lado derecho de la ecuación sea negativo.

La solución de la ecuación logarítmica es x=3.

Ecuación 3

Solución:

Como la incógnita está en la base del logaritmo, tiene que ser positiva y distinta de 1.

Para resolver esta ecuación, aplicamos un cambio de base en el logaritmo. Recordad la fórmula para cambiar la base:

Cambiamos a base 7:

Por tanto, tenemos la ecuación logarítmica

Pasamos el denominador al otro lado:

Escribimos el 3 en el argumento:

Escribimos el 1 como un logaritmo en base 7:

Igualamos argumentos y resolvemos la ecuación:

El argumento del logaritmo es positivo para esta solución, así que hemos hallado la solución de la ecuación logarítmica.

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