La derivada del seno de \(x\), denotada como \(\frac{d}{dx}(\sin(x))\) o \(\cos(x)\), puede demostrarse utilizando la definición de derivada y algunas propiedades trigonométricas básicas. Aquí tienes la demostración paso a paso:

Definición de Derivada:

La derivada de una función \(f(x)\) en un punto \(x = a\) se define como el límite cuando \(h\) tiende a cero de la razón de cambio promedio:

\[ f'(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \]

Demostración:

1. Comenzamos con la función \(f(x) = \sin(x)\).

2. Utilizamos la definición de derivada:
\[ \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \lim_{{h \to 0}} \frac{\sin(x + h) - \sin(x)}{h} \]

3. Aplicamos la identidad trigonométrica \( \sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B) \):
\[ \lim_{{h \to 0}} \frac{\sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) - \sin(x)}{h} \]

4. Factorizamos el término común \(\sin(x)\) en el numerador:
\[ \lim_{{h \to 0}} \frac{\sin(x)(\cos(h) - 1) + \cos(x)\sin(h)}{h} \]

5. Dividimos ambos términos del numerador por \(h\):
\[ \lim_{{h \to 0}} \left(\frac{\sin(x)(\cos(h) - 1)}{h} + \frac{\cos(x)\sin(h)}{h}\right) \]

6. Observamos que el primer término tiende a cero:
\[ \lim_{{h \to 0}} \frac{\cos(h) - 1}{h} = 0 \]
Este límite es una propiedad importante y puede demostrarse utilizando la regla de L'Hôpital o geometría analítica.

7. El segundo término se simplifica a \(\cos(x)\) cuando \(h\) tiende a cero:
\[ \lim_{{h \to 0}} \cos(x)\frac{\sin(h)}{h} = \cos(x) \]
Este límite es una propiedad fundamental y se utiliza a menudo en la derivación de funciones trigonométricas.

8. Combinamos los resultados:
\[ \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) \]

Por lo tanto, hemos demostrado que la derivada del seno de \(x\) es igual al coseno de \(x\), lo cual es una propiedad bien conocida de las funciones trigonométricas.

Fuente: Calculodiferencial.com