La derivada del seno de $x$, denotada como $\frac{d}{dx}(\sin(x))$ o $\cos(x)$, puede demostrarse utilizando la definición de derivada y algunas propiedades trigonométricas básicas. Aquí tienes la demostración paso a paso:

Definición de Derivada:

La derivada de una función $f(x)$ en un punto $x = a$ se define como el límite cuando $h$ tiende a cero de la razón de cambio promedio:

$$f'(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$

Demostración:

1. Comenzamos con la función $f(x) = \sin(x)$.

2. Utilizamos la definición de derivada:
$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \lim_{{h \to 0}} \frac{\sin(x + h) - \sin(x)}{h}$$

3. Aplicamos la identidad trigonométrica $\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)$:
$$\lim_{{h \to 0}} \frac{\sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) - \sin(x)}{h}$$

4. Factorizamos el término común $\sin(x)$ en el numerador:
$$\lim_{{h \to 0}} \frac{\sin(x)(\cos(h) - 1) + \cos(x)\sin(h)}{h}$$

5. Dividimos ambos términos del numerador por $h$:
$$\lim_{{h \to 0}} \left(\frac{\sin(x)(\cos(h) - 1)}{h} + \frac{\cos(x)\sin(h)}{h}\right)$$

6. Observamos que el primer término tiende a cero:
$$\lim_{{h \to 0}} \frac{\cos(h) - 1}{h} = 0$$
Este límite es una propiedad importante y puede demostrarse utilizando la regla de L'Hôpital o geometría analítica.

7. El segundo término se simplifica a $\cos(x)$ cuando $h$ tiende a cero:
$$\lim_{{h \to 0}} \cos(x)\frac{\sin(h)}{h} = \cos(x)$$
Este límite es una propiedad fundamental y se utiliza a menudo en la derivación de funciones trigonométricas.

8. Combinamos los resultados:
$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$

Por lo tanto, hemos demostrado que la derivada del seno de $x$ es igual al coseno de $x$, lo cual es una propiedad bien conocida de las funciones trigonométricas.

Fuente: Calculodiferencial.com