Nació Anaxágoras en Clazomene, en Asia Menor, hacia el año 500 antes de Cristo, viviendo su juventud en una época, pues, en la que Clazomene había sido sometida al imperio persa, tras la represión de la revuelta Jonia.

Posteriormente se trasladó a Atenas, ciudad en la que residiría la mayor parte de su vida, siendo maestro, y posteriormente amigo, de Pericles, entre otros atenienses ilustres. Precisamente esa amistad le supuso ser acusado de impiedad por los enemigos de Pericles y verse obligado a abandonar Atenas, refugiándose en Lámpsaco, una de las colonias de Mileto en Jonia.

Diógenes Laercio nos dice, en su Vida de filósofos ilustres, que "respecto a su condena hay varias opiniones, pues Soción, en Las Sucesiones de los filósofos, dice que Cleón le acusó de impiedad, por haber dicho que el sol es una masa de hierro encendido, pero que lo defendió Pericles, su discípulo, y sólo fue condenado a pagar cinco talentos y salir desterrado.

Sátiro escribe sus Vidas que lo acusó Tucídides, por ser éste contrario a las resoluciones de Pericles en la administración de la República. Que no sólo lo acusó de impiedad, sino también de traición, y que ausente, fue condenado a muerte. Habiéndole dado la noticia de su condena y de la muerte de sus hijos, respondió a lo primero que hacía mucho tiempo que la naturaleza había condenado a muerte tanto a sus acusadores como a él. Y a lo segundo, que sabía que los había engendrado mortales. Algunos atribuyen esto a Solón; otros, a Jenofonte."