El Quinto Teorema De Leonardo:

Existen Cincos y Solo Cincos Poliedros Regulares Estrellados.

Los cincos poliedros regulares cóncavos estrellados los cuales están representados por el Conjunto E:

E= {(6, 3) + (3, 3),(6, 3) + (4, 3),(6, 3) + (5, 3),(8, 3) + (3, 3),(10, 3) + (3, 3)}

Tesis:

1. Demostrar que el conjunto E está compuesto por los únicos  poliedros regulares cóncavos estrellados que existen.

Como los poliedros regulares convexo son los que generan los poliedros regulares cóncavos, utilizaremos la formula de                   Euler despejando el valor de la arista.

1. A = 2mn / 2m + 2n – mn = 1/m +1/n – 1/2 = 1/A. Es le formula de Euler despejando el valor de la arista
2. (n =3) Como los poliedros regulares cóncavos estrellados están todos compuestos por caras poliédricas que son triángulos equiláteros entonces siempre n = 3.
3.  (2m, n)  +  (m, n). Como los poliedros estrellados poseen dos clases de vértices, donde la cantidad de arista  del vértice cóncavo intermedio  (2m, n),   de un poliedro regular estrellado,  es el doble de la cantidad de aristas del vértice convexo exterior (m, n), de un poliedro regular estrellado.

(2m, n)+(m, n) es designado con el nombre de bis-par poliédrico en el cual (2m, n) es el primer miembro del bis-par poliédrico y (m, n) es el segundo miembro del bis-par poliédrico.

1. +A=+2A, por cada arista intermedia en un poliedro estrellado existen dos arista estrelladas, se cumple en (2m, n).
2. +4mn / 2m + 2n – mn. si  en la formula +A=+2A  Sustituimos en (1)  el valor de la arista intermedia y efectuamos la operación +A=+2 (2mn / 2m + 2n – mn)  tenemos +A= +4mn / 2m +2n - mn, por ley transitiva de la igualdad es válida para (2m, n)
3. +V= 2(+A/j), porque la cantidad de vértices exteriores es directamente proporcional al producto del doble de sus aristas e inversamente proporcional al producto del doble de las aristas que convergen en el vértice cóncavo intermedio.            .
4. + C = + A porque la cantidad de caras exteriores de un poliedro estrellado es directamente proporcionar a la cantidad de aristas exteriores del poliedro estrellado, los poliedros estrellados tienen sus leyes diferentes a los poliedros convexo, por lo tanto en (2m, n). (+C) + (+V) – (+A) = +V, como el tetraedro tiene 4 vértices y es el poliedro de menor número de vértice entonces la nueva  ley que siempre se cumple (+C) + (+V) – (A) ≥ 4
5. C= 2 A  / n, se cumple en (m, n)
6. V= 2A  / m, se cumple en (2m, n) y en (m, n).
7. +V= 2(+A/m), 

1. Símbolos de la variables: A=aristas intermedia, V = Vértices, +A =Aristas exteriores, +C = caras exteriores, C= caras intermedias, n=numero de lados del polígono regular, m =numero de aristas que tiene un vértice, s = variable que indica la suma de los ángulos, que poseen  los polígonos regulares comunes a un vértice, j = es el doble de las aristas que convergen en el vértice cóncavo intermedio. La variable J= el duplo de m y J ≥ 3, R= representa el grado de regularidad o irregularidad del poliedro seleccionado. Cuando el poliedro es irregular  el grado se marca con una I, cuando el poliedro es regular el grado de regularidad no se marca.

 En la primera etapa: utilizaremos el par poliédrico  (2m, n) y estableceremos los números que satisfacen la ecuación +A = +4mn / 2m + 2n – mn. Teniendo en cuenta que para el par poliédrico cóncavo  (2m, n), 360 ≤ s ≤ 720, que la suma de los ángulos del conjunto de polígono comunes a un vértices es mayor o igual a cuatro ángulos rectos y menor que ocho ángulo recto.  

Segunda etapa: utilizaremos el par poliédrico  (m, n) y establecer los números que satisfacen la ecuación A = 2mn / 2m + 2n – mn. Teniendo en cuenta que para el par poliédrico convexo  (m, n), 360° ˃ s ≥ 180, que la suma de los ángulos del conjunto de polígono comunes a unos vértices es menor que cuatro ángulos recto.

Primera etapa Trabajando con el par poliédrico (2m, n).

1. Siendo m = 3, n =3 sustituyendo en +A = +4mn / 2m + 2n – mn=+4 (3) (3) / 2 (3) + 2 (3) -3 (3) = +36/3 entonces +A = +12 este es el primer par poliédrico cóncavo intermedio: Sustituyendo m = 3, n = 3, en (2m, n) = (2(3), (3)) = (6, 3) satisface la ecuación.

1. Siendo m =4 , n =3 sustituyendo en +A = +4mn / 2m + 2n – mn=+4 (4) (3) / 2 (4) + 2 (3) -4 (3) = +48/2 entonces +A = +24 este es el segundo par poliédrico cóncavo intermedio: Sustituyendo m = 4,  n = 3, en (2m, n) =  (2(4), (3)) = (8, 3) satisface la ecuación.
2. Siendo m = 5, n =3 sustituyendo en +A = +4mn / 2m + 2n – mn=+4 (5) (3) / 2 (5) + 2 (3) -5 (3) = +60/1 entonces +A = +60 este es el tercer par poliédrico cóncavo intermedio: Sustituyendo m = 5, n = 3, en (2m, n) = (2(5), (3)) = (10, 3) satisface la inecuación.
3. Siendo m = 6, n =3 sustituyendo en +A = +4mn / 2m + 2n – mn=+4 (6) (3) / 2 (6) + 2 (3) -6 (3) = 72 / 0 = ∞ entonces +A = +∞ no satisface la ecuación.

Segunda etapa trabajando con (m, n)

1. Siendo m = 3, n =3 sustituyendo en A = 2mn / 2m + 2n – mn = 2(3) (3) / 2 (3) + 2 (3) -3 (3) = 18/3 entonces A = 6. Este es el primer par poliédrico convexo exterior, sustituyendo m = 3, n = 3, en (m, n)  =  (3, 3) satisface la ecuación.

1. Siendo m = 4, n =3 sustituyendo en A = 2mn / 2m + 2n – mn = 2(4) (3) / 2 (4) + 2 (3) - 4 (3) = 24/2 entonces A = 12.  Este es el segundo par poliédrico convexo exterior, sustituyendo m = 4, n = 3, en (m, n) =  (4, 3) satisface la ecuación.

1. Siendo m = 5, n =3 sustituyendo en A = 2mn / 2m + 2n – mn = 2(5) (3) / 2 (5) + 2 (3) -5 (3) = 30/3 entonces A = 30 este es el tercer par poliédrico convexo exterior: sustituyendo m = 5, n = 3, en  (m, n)  =  (5, 3) satisface la ecuación.

1. Siendo m = 6, n =3 sustituyendo en A = 2mn / 2m + 2n – mn = 2 (6) (3) / 2 (6) + 2 (3) -6 (3) = 36 / 0 = ∞ entonces A = +∞ no satisface la ecuación

Entonces con  (2m, n)  tenemos un conjunto de tres pares poliédricos al cual llamaremos conjunto X = {(6, 3), (8, 3), (10, 3)}.

 Con  (m, n) tenemos otro conjunto de tres pares poliédricos, al cual llamaremos conjunto Y = {(3,3), (4,3), (5,3)}.

 Si combinamos los elementos de ambos conjuntos poliédricos tendremos nueve combinaciones diferentes de pares poliédricos, las cuales formaran el conjunto K.
 K = {(6, 3) +  (3, 3),  (6, 3) +  (4, 3),  (6, 3) +  (5, 3),  (8, 3) +  (3, 3),  (8, 3) +  (4, 3),  (8, 3) +  (5, 3),  (10, 3) +  (3, 3),  (10, 3) + V (4, 3),  (10, 3) +  (5, 3)}.

Como todas las caras de las estelaciones son triángulos equiláteros, para elegir correctamente entre las  nueve combinaciones anteriores que están representadas en el conjunto K, utilizaremos el  primer miembro del bis-par poliédrico (2m, n) + (m, n),  en el que m = 3, n = 3, sustituyendo en  (2m, n) =  (6, 3), esto indica que de las nueve combinaciones, son elegibles todas las combinaciones que comiences con  (6, 3),  y obtenemos como resultado el conjunto G = {(6, 3) + (3, 3),  (6, 3) + (4, 3),  (6, 3) +  (5, 3)}, tres elementos.        

Siendo n = 3, para elegir correctamente entre las  nueve combinaciones anteriores que están representadas en el conjunto K, utilizaremos el segundo miembro del bis-par poliédrico (2m, n) + (m, n), donde (m, n) = (3, 3), esto indica que de las nueve combinaciones, todas las combinaciones que terminen con (3, 3), son las elegibles, cuyo resultado es  el conjunto O ={(6, 3)  +  (3, 3),  (8, 3) +  (3, 3),  (10, 3) + (3, 3)}, tres elementos.

Definiendo las aristas que corresponden al conjunto G, siendo el bis-par poliédrico (2m, n) + (m, n). Para el primer miembro del bis-par poliédrico que corresponde a los elementos del conjunto G, utilizamos la formula +A= +4mn / 2m + 2n – mn.  Para el segundo miembro del bis-par poliédrico  que corresponde a los elementos del conjunto G, utilizamos la formula A= 2mn / 2m + 2n –mn. Los valores de (m) están definidos en el segundo miembro que corresponde al bis-par poliédrico, de los elementos del conjunto G.

Elementos del conjunto G = {(6, 3) + (3, 3),  (6, 3) + (4, 3),  (6, 3) +  (5, 3)}.

1. (6, 3) + (3, 3),  entonces m =3, n =3:

+A= +4mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de (6, 3) sustituyendo, +A = +4 (3) (3) / 2 (3) + 2(3) – (3) =  +36 /3  = +12, el par poliédrico (6, 3) tiene +A =+12.

A= 2mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de (3, 3) sustituyendo.

A = 2 (3) (3) / 2 (3) + 2 (3) – 3 (3) =  18 / 3  = 6, el par poliédrico (3, 3) tiene +A = 6

(+A = +12, (6, 3) + (3, 3),  A =6) este es el primer elemento del conjunto G.

1. (6, 3) + (4, 3),  entonces m = 4, n =3:

+A = +4mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de (6,3) sustituyendo.

+A= +4(4) (3) / 2 (4) + 2(3) – 4 (3) = + 48 / 2 = +24, el par poliédrico (6, 3) tiene +A = +24

A= 2mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de (4, 3) sustituyendo.

A= 2(4) (3) / 2 (4) + 2(3) – (3) = 24/2  =12, el par poliédrico (4, 3) tiene  A =12

(+A = +24, (6, 3) + (4, 3),  A =12). Este es el segundo elemento del conjunto G.

1. (6, 3) + (5, 3),  entonces m =3 , n =3:

+A= +4mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de (6, 3) sustituyendo.

+A= +4(5) (3) / 2 (5) + 2(3) – 5 (3) = +60 / 1 = +60, el par poliédrico (6, 3) tiene +A =+60.

A= 2mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de (5, 3) sustituyendo.

A = 2 (5) (3) / 2 (5) + 2 (3) – 5 (3) = 30 / 1 = 30, el par poliédrico (5, 3) tiene A = 30.

(+A = +60, (6, 3) + (5, 3), A =30) este es el  tercer elemento del conjunto G.

Entonces el conjunto  G= {(+A = 12, (6, 3) + (3, 3), A= 6), (+A = +24, (6, 3) + (4, 3), A=12), (+A = +60, (6, 3) + (5, 3), A=30)}.

Definiendo las aristas Que corresponden al conjunto O, siendo el bis-par poliédrico (2m, n) + (m, n). Para el primer miembro del bis-par poliédrico que corresponde a los elementos del conjunto O utilizamos la formula +A= +4mn / 2m + 2n – mn.  Para el segundo miembro del bis-par poliédrico  que corresponde a los elementos del conjunto O, utilizamos la formula A= 2mn / 2m + 2n –mn. Los valores de (m) están definidos en el Primer miembro que corresponde al bis-par poliédrico, de los elementos del conjunto O. En (2m, n) entonces m = j /2, j=2m  2= j /m, por lo tanto:

(2m, n) = (j, n).

Elementos del conjunto O = {(6, 3)  +  (3, 3),  (8, 3) +  (3, 3), (10, 3) + (3, 3)}

1. (6, 3) + (3, 3),  entonces j = 6 , m = j/2 = 3, m =3 n =3:

+A= +4mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de (6, 3) sustituyendo.

+A= +4(3) (3) / 2 (3) + 2(3) – 3(3) = +36 / 3 = +12, el par poliédrico  (6, 3) tiene +A =+12.

A= 2mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de (3, 3) sustituyendo.

A= 2(3) (3) / 2 (3) + 2(3) – 3(3) = 18 / 3 = 6, el par poliédrico (3, 3) tiene A =6.

(+A = +12, (6, 3) + (3, 3), A = 6) este es el primer elemento del conjunto O.

1. (8, 3) + (3, 3),  entonces j = 8 , m = j/2 = 4, m =4, n =3::

+A= +4mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de (8, 3) sustituyendo.

+A= +4(4) (3) / 2 (4) + 2(3) – 4(3) = +48 / 2 = +24, el par poliédrico  (8, 3) tiene +A =+24.

A= 2mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de (3, 3) sustituyendo.

A= 2(4) (3) / 2 (4) + 2(3) – 4 (3) = 24 / 2 =12, el par poliédrico (3, 3) tiene A = 12.

(+A =+24, (8, 3) + (3, 3), A =12), este es el segundo elemento del conjunto O.

1. (10, 3) + (3, 3),  entonces j = 10 , m = j/2 = 5, m =5, n =3:

+A= +4mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de (8, 3) sustituyendo.

+A= +4(5) (3) / 2 (5) + 2(3) – 5 (3) = +60 / 1 =+60, el par poliédrico (8, 3) tiene +A =+60.

A= 2mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de (3, 3) sustituyendo.

A= 2(5) (3) / 2 (5) + 2(3) – 5 (3) = 30 / 1 = 30, el par poliédrico (3, 3) tiene A = 30

(+A = +60, (10, 3) + (3, 3), A =30), este es el tercer elemento del conjunto O.

Entonces el conjunto O = {(+A = +12, (6, 3) + (3, 3), A =6),  (+A =+24, (8, 3) + (3, 3), A =12),  (+A = +60, (10, 3) + (3, 3), A =30)}

Si unimos ambos conjuntos G  O = E tenemos la cantidad de cincos elemento, debido a que el conjunto G  y el conjunto O posen el elemento (+A = +12, (6, 3) + (3, 3), A =6) en común.

El  conjunto E={(+A =+ 12, (6, 3) + (3, 3), A=6), (+A = +24, (6, 3) + (4, 3), A=12), (+A = +60, (6, 3) + (5, 3), A=30) (+A =+24, (8, 3) + (3, 3), A =12),  (+A = +60, (10, 3) + (3, 3), A =30)}

Con esto datos  que poseen los elementos del conjunto E y

 Con esto datos  que poseen los elementos del conjunto E y utilizando la formula de vértice V=2A / m, la formula de  caras C=2A /n, la formula +C = +A.

Utilizando (6), (7), (8) y (9) vamos a determinar con exactitud cuáles son los cincos poliedros regulares cóncavos estrellados.

1- Tomando el primer elemento del conjunto E y aplicando formula. (+A = +12, (6, 3) + (3, 3), A=6).

V=2A / m, C=2A /n,+C = +A,+V= 2(+A/j),

Tomando el primer miembro de bis-par poliédrico.

+A = +12, (6, 3), j =6+C =+12, +V=2(+12/6), +V=+4

Tomando el segundo miembro de bis-par poliédrico.

(3, 3), A=6, m = 3, C=2(6/3), C=4, V=2(6/3), V=4

En las estelaciones estrelladas el conjunto de caras intermedias desaparecen, debido a que quedan sepultadas debajo de las caras exteriores del poliedro estrellado.

Esto indica que el primer bis-par poliédrico posee 6 aristas intermedia, 12 aristas exteriores, para un total de 18 aristas. Además posee 4(6, 3) vértices cóncavo intermedios y 4(3, 3) vértices exteriores, para un total de 8 vértices. Este poliedro regular cóncavo estrellado posee 12 caras triangulares equiláteras uniformes entre sí, las cuales son de categoría exteriores. Además se cumple la formula de Euler:

C + V – A = 2, sustituyendo 12 + 8 -18 =2

Estos resultados demuestran, que el poliedro que posee todas estas características es el Tetraedro Estrellado Davinciano, por lo tanto concluimos que el primer poliedro regular cóncavo estrellado, es el Tetraedro Estrellado Davinciano.

​https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Tetraedro_Estrellado_Davinciano_o_primera_estelacion_del_tetraedro.jpg

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https://www.geogebra.org/classic/jF68xr72

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tetraedro_Estrellado_Davinciano.gif

2- Tomando el segundo elemento del conjunto E y aplicando formula. (+A = +24, (6, 3) + (4, 3), A=12). 

V=2A / m,C=2A /n,+C = +A,+V= 2(+A/j).

Tomando el primer miembro de bis-par poliédrico.

+A = +24, (6, 3), j =6+C =+24, +V=2(+24/6), +V=+8.

Tomando el segundo miembro de bis-par poliédrico.

(4, 3), A=12, m = 4,n =3, C=2(12/3), C=8, V=2(12/4), V=6.

Esto indica que el segundo bis-par poliédrico, posee 12 aristas intermedia, 24 aristas exteriores, para un total de 36 aristas. Además posee 8(6, 3) vértices cóncavo intermedios y 6(4, 3) vértices exteriores, para un total de 14 vértices. Este poliedro regular cóncavo estrellado posee 24 caras triangulares equiláteras uniformes entre sí, las cuales son de categoría exteriores. Además se cumple la formula de Euler:

C + V – A = 2, sustituyendo 24 + 14 - 36 =2

Estos resultados demuestran, que el poliedro que posee todas estas características es el Hexaedro Estrellado Davinciano, por lo tanto concluimos que el segundo poliedro regular cóncavo estrellado, es el Hexaedro Estrellado Davinciano.

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hexaedro_Estrellado_daviciano_o_primera_estelacion_del_Hexaedro.jpg

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hexaedro_Estrellado_Davinciano.gif

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hexaedro_Estrellado_Davinciano.jpg

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Primera_Estelaci%C3%B3n_del_Cubo_o_Hexaedro.jpg

https://www.geogebra.org/classic/dhTK6Afh

3- Tomando el tercer elemento del conjunto E y aplicando formula. (+A = +60, (6, 3) + (5, 3), A=30),  

V=2A / m,C=2A /n,+C = +A,+V= 2(+A/j).

Tomando el primer miembro de bis-par poliédrico.

+A = +60, (6, 3), j =6+C =+60, +V=2(+60/6), +V=+20

Tomando el segundo miembro de bis-par poliédrico.

(5, 3), A=30, m = 5,n =3, C=2(30/3), C=20, V=2(30/5), V=12.

Esto indica que el tercer bis-par poliédrico posee 30 aristas intermedia, 60 aristas exteriores, para un total de 90 aristas. Además posee 20(6, 3) vértices cóncavo intermedios y 12(5, 3) vértices exteriores, para un total de 32 vértices. Este poliedro regular cóncavo estrellado posee 60 caras triangulares equiláteras uniformes entre sí, las cuales son de categoría exteriores. Además se cumple la formula de Euler:

C + V – A = 2, sustituyendo 60 + 32 -90 =2

Estos resultados demuestran, que el poliedro que posee todas estas características es el Dodecaedro Estrellado Davinciano, por lo tanto concluimos que el tercer poliedro regular cóncavo estrellado, es el Dodecaedro Estrellado Davinciano.

https://www.geogebra.org/m/cjYXyBGF

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dodecaedro_Estrellado_Davinciano.gif

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?search=dodecaedro+estrellado+davinciano&title=Special:Search&go=Go&searchToken=b39hh6dh72ow9eea2cwqi6ch9#/media/File:La_Segunda_Estelaci%C3%B3n_del_Dodecaedro.jpg

4- Tomando el cuarto elemento del conjunto E y aplicando formula. (+A =+24, (8, 3) + (3, 3), A =12),  

V=2A / m,C=2A /n,+C = +A,+V= 2(+A/j).

Tomando el primer miembro de bis-par poliédrico.

+A =+24, (8, 3), j =8, +C =+24, +V=2(+24/8), +V=+6

Tomando el segundo miembro de bis-par poliédrico.

(3, 3), A =12, m =3, n =3, C=2(12/3), C=8, V=2(12/3), V=8

Esto indica que el cuarto bis-par poliédrico posee 12 aristas intermedia, 24 aristas exteriores, para un total de 38 aristas. Además posee 6 (6, 3) vértices cóncavo intermedios y 8 (3, 3) vértices exteriores, para un total de 14 vértices. Este poliedro regular cóncavo estrellado posee 24 caras triangulares equiláteras uniformes entre sí, las cuales son de categoría exteriores. Además se cumple la formula de Euler:

C + V – A = 2, sustituyendo 24 + 14 - 36 =2

Estos resultados demuestran, que el poliedro que posee todas estas características esla Estrella Octángula de Kepler, por lo tanto concluimos que el cuarto poliedro regular cóncavo estrellado, es la Estrella Octángula de Kepler.

https://es.wikipedia.org/wiki/Estrella_oct%C3%A1ngula

http://mathworld.wolfram.com/StellaOctangula.html

https://www.geogebra.org/classic/nmp3e6MZ

5- Tomando el quinto elemento del conjunto E y aplicando formula. (+A = +60, (10, 3) + (3, 3), A =30)

V=2A / m,C=2A /n,+C = +A,+V= 2(+A/j).

Tomando el primer miembro de bis-par poliédrico.

+A = +60, (10, 3), j =10, +C =+60, +V=2(+60/10), +V=+12

Tomando el segundo miembro de bis-par poliédrico.

(3, 3), A =30, m =3, n =3, C=2(30/3), C=20, V=2(30/3), V=20.

Esto indica que el quinto bis-par poliédrico posee 30 aristas intermedia, 60 aristas exteriores, para un total de 90 aristas. Además posee 12 (10, 3) vértices cóncavo intermedios, y 20 (3, 3) vértices exteriores, para un total de 32 vértices. Este poliedro regular cóncavo estrellado posee 60 caras triangulares equiláteras uniformes entre sí, las cuales son de categoría exteriores. Además se cumple la formula de Euler:

C + V – A = 2, sustituyendo 60 + 32 - 90 =2.

Estos resultados demuestran, que el poliedro que posee todas estas características es el IcosaedroEstrellado Davinciano, por lo tanto concluimos que el tercer poliedro regular cóncavo estrellado, es el Icosaedro Estrellado Davinciano.

https://www.geogebra.org/m/XFfRm6cP

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Icosaedro_Estrellado_Davinciano.gif

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Icosaedro_Estrellado_Davincizno.gif

Conclusión.

Los poliedros regulares cóncavos estrellados son generados por los poliedros regulares convexos, debido  que en cada bis-par poliédrico existe un poliedro regular que es el que genera los datos para determinar el poliedro regular cóncavo estrellado.

Todos los elementos del conjunto E, representan un poliedro regular cóncavo estrellado.

En la humanidad no ha habido, ni habrán otros poliedro regulares cóncavos estrellado, que no sean estos cincos poliedros los cuales forman el conjunto E = {(6, 3) + (5, 3) (6, 3) + (4, 3), (6, 3) + (3, 3), (8, 3) + (3, 3), (10, 3) + (3, 3)}

L.q.q.d