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Teorema de Rolle (con ejemplo)

tipo de documento Matemàtiques - Tutorial

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Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b], derivable en el intervalo abierto ]a,b[ y con f(a) = f(b). Entonces, existe al menos un punto c del intervalo ]a,b[ que anula a la derivada de f, es decir,

f ' (c) = 0

Interpretación geométrica:

Teorema de Rolle

La derivada de una función se anula en los extremos locales (máximos y mínimos). La derivada es la pendiente de la recta tangente, siendo 0 en los extremos.

Problema 1: Hallar b para que la función g cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, b]:

teorema

Calcular el número c del teorema.

Solución:

La continuidad y la derivabilidad no son un problema puesto que la función es polinómica.

La otra condición es que g(0)=g(b). Como g(0)=5, tenemos que buscar un b>0 tal que g(b)=5. Resolvemos la ecuación g(0) = g(b):

teorema de Rolle

Por tanto, el b que buscamos es b =4 y el intervalo que tenemos es [0,4].

Para obtener c, calculamos la derivada, igualamos a 0 y resolvemos la ecuación:

Rolle