Todos sabemos estas dos propiedades de la geometría: 

•  los ángulos de un triángulo suman 180 grados
•  las rectas paralelas no se cortan

Sin embargo, alguno de nosotros habrá oído que estas dos propiedades no son siempre ciertas. ¿Cómo es esto posible? Ahora lo veremos.

Empezamos... 

Hace un par de milenios se publica un libro de geometría llamado Elementos . Este libro comienza con 5 enunciados que parecen ser tan verdaderos que se asumen como verdaderos sin demostrarlos. Estos enunciados son los 5 postulados de Elementos. A partir de ellos se construye la geometría y surgen propiedades como el teorema de Pitágoras. 

Primer postulado: 

"Entre dos puntos distintos pasa una recta que los une. "

 

No creo que haya nadie que dude de esta afirmación. Así que pasamos al segundo: 

Segundo postulado 

"Un segmento rectilíneo puede prolongarse continuamente en una recta." 

Tampoco nadie duda de esto, ni de los dos siguientes postulados (tercero y cuarto): 

Tercer postulado 

"Hay una única circunferencia para cada centro y diámetro." 

Cuarto postulado 

"Todos los ángulos rectos son iguales entre sí." 

El siguiente postulado es el problemático: 

Quinto postulado 

"Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela."

Seguramente, a nadie la parece que esto sea falso. Pero nosotros hemos escrito el postulado de una forma moderna y sencilla. En Elementos, el quinto postulado era mucho más complicado que los otros dos, algo así como: 

"Al incidir una recta con otras dos, los ángulos internos del mismo lado son menores que el ángulo recto, las dos rectas, prolongadas indefinidamente, se encuentran en el lado en el cual los ángulos son menores que dos ángulos rectos." 

Sólo el hecho de que este postulado se escribiese en su día de una forma tan enrevesada ya suscita dudas. 

Algunos matemáticos pensaron que este postulado no era tan evidente. Lo que hicieron fue "eliminarlo" para trabajar sin él, considerarlo falso o cambiarlo por otro. 

Sus intenciones eran: demostrar el quinto postulado a partir de los otros cuatro o bien, llegar a una contradicción para poder asegurar su falsedad. La sorpresa fue que no consiguieron ni la una ni la otra. Así, eliminaron o cambiaron el quinto postulado y obtuvieron una geometría distinta y consistente (sin contradicciones). ¡Una gran sorpresa para todos! 

Entre estas geometrías (llamadas no euclidianas) destacan la hiperbólica y la elíptica. El aspecto de los triángulos en estas geometrías es 

En la geometría hiperbólica, los ángulos de los triángulos suman menos que 180 grados. Y en la elíptica suman más de 180. 

Curiosamente, en la geometría hiperbólica es donde ocurre que hay rectas paralelas que se cortan. 

Más información: Euclides y el quinto postulado 
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