Extremos relativos

Un punto a es un máximo relativo de la función f si f(a)≥f(x) para los x cercanos a a. Es un mínimo relativo si f(a)≤f(x).

Ejemplo:

La función tiene un máximo relativo en (0, 0) y un mínimo relativo en (2, -4).

Observad que x=0 es un máximo en los puntos de su alrededor, pero no en todos, ya que, por ejemplo,

Extremos absolutos

Si a es un mínimo (o un máximo) para todo x del dominio de f, se dice que es un mínimo absoluto (o un máximo absoluto).

Es decir,

• a es un mínimo absoluto de f si

• a es un máximo absoluto de f si

  

• a es un extremo absoluto de f si es un mínimo absoluto o un máximo absoluto.

Nota: observad que un extremo absoluto cumple la definición de extremo relativo.

Ejemplo:

Los extremos de la función del ejemplo anterior no son absolutos.

El vértice de una parábola siempre es un extremo absoluto. Por ejemplo, la siguiente parábola tiene un mínimo relativo en (-1, 1):

Regla de la primera derivada

Si f es derivable en el intervalo I=(a, b), entonces

• f es creciente en I si

  

• f es decreciente en I si

  

Por tanto, los candidatos para ser extremos son los puntos que anulan la derivada.

Supongamos que f es derivable en I=(a, b),  que c∈I es un punto crítico (es decir, f'(c)=0). Entonces, pueden darse las siguientes situaciones (estudio del signo de la derivada en los intervalos (a, c) y (c, b)):

Es decir, c es un máximo si la función es f es creciente a su izquierda y decreciente a su derecha. Y es un mínimo si f es decreciente a su izquierda y creciente a su derecha.

Para saber si f’ es positiva o negativa un intervalo, sólo tenemos que ver el signo de f'(x) de cualquier x de dicho intervalo.

Ejemplo:

Vamos a calcular los extremos de la función

La primera derivada es

Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación para hallar los puntos críticos:

La función ex nunca es igual a 0. Por tanto, el único punto crítico es x=-1.

El punto crítico divide los reales en dos intervalos:

Evaluamos la derivada f’ en un punto arbitrario de cada uno de los intervalos para saber si f es creciente o decreciente:

Por tanto, f es monótona decreciente en el intervalo (-∞, -1) y monótona creciente en (-1, +∞).

Como consecuencia, x=-1 es un mínimo. Además, por la monotonía de la función, se deduce que es un mínimo absoluto.

Gráfica:

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