Definimos función inyectiva, función suprayectiva y función inversa.

Ejemplo

Sea la función dada por

La imagen de -1 es 0, pero ¿cuál es la anti-imagen de 2 y la de 4?

Podemos resolver las ecuaciones f(x)=2 y f(x)=4, pero es más rápido si disponemos de la función inversa:

Calculamos las anti-imágenes de 2 y 4:

Gráfica de f:

Función inyectiva

Una función es inyectiva si las imágenes de elementos distintos son distintas. Es decir,

O bien,

Para comprobar que una función es inyectiva, se tiene que demostrar que si f(a)=f(b) entonces a=b.

Ejemplo:

La función f(x)=2 no es inyectiva. Por ejemplo, las imágenes de 1 y -1 son iguales:

Gráfica:

Función suprayectiva

Una función f es suprayectiva o sobreyectiva si todo elemento del codominio tiene anti-imagen. Es decir,

Esta propiedad depende del codominio: podemos definir el codominio para conseguir que una función sea suprayectiva.

Ejemplo

La función f(x)=2x es suprayectiva:

Sea b un número, entonces, su anti-imagen es a=b/2  ya que

Por ejemplo, la anti-imagen de 9 es 9/2.

Función biyectiva

Una función f es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Función inversa

Toda función biyectiva, f, tiene una función inversa, f – 1.

La función inversa es la función que cumple

Es decir,

Ejemplo

La función f(x)=2x es biyectiva.

Comprobamos que la función f – 1(x) = x/2 es su inversa:

Cálculo de la inversa

Para calcular la inversa seguimos los siguientes pasos:

1. Igualamos la expresión de la función a y.

2. Despejamos la incógnita x (así, queda en función de y).

3. Cambiamos la x por la y y viceversa. La expresión obtenida es la de la inversa.

Ejemplo

Calculamos la inversa de la función

1. Igualamos a y:

2. Despejamos x:

3. Intercambiamos x por y:

Por tanto, la función inversa es

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