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Ecuaciones exponenciales

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Una ecuación exponencial es aquella en la que aparecen exponenciales, es decir, potencias cuyos exponentes son expresiones en las que aparece la incógnita, x. En esta sección, resolveremos ecuaciones exponenciales sin usar logaritmos.

El método de resolución consiste en conseguir una igualdad de exponenciales con la misma base para poder igualar los exponentes. Para ello, utilizaremos las propiedades de las potencias.

 

Ejemplo 1:

resolución de ecuaciones exponenciales paso a paso

 

 

Escribimos 16 como una potencia de 2:

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

 

 

Podemos reescribir la ecuación como

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

 

 

Por tanto, igualando los exponentes,

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

 

 

Luego la solución de la ecuación exponencial es x = 2.

 

Ejemplo 2:

resolución de ecuaciones exponenciales paso a paso

 

 

Aplicando las propiedades de las potencias,

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

 

 

 

 

Con lo que podemos reescribir la ecuación como

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

 

 

De este modo podemos extraer factor común:

 

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

 

 

 

 

 

 

 

Es decir, la solución es x = 3.

 

Ejemplo 3:

 

resolución de ecuaciones exponenciales paso a paso

 

 

 

Las bases de las exponenciales son distintas, pero ambas son potencias de 2. Operamos para tener potencias con la misma base:

 

 

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

 

 

 

 

 

 

Con lo que podemos reescribir la ecuación como

 

 

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

 

 

Aplicamos un cambio de variable:

 

 

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

 

 

Substituimos en la ecuación y obtenemos la ecuación de segundo grado

 

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

 

 

 

 

cuyas soluciones son

 

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

 

 

Por tanto,

 

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

 

 

La segunda solución no es posible por ser negtiva. Por tanto,

 

 

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

 

 

Es decir, debe cumplirse

 

 

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

 

 

 

La única solución de la ecuación exponencial es x = 3.

Más información:

 

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Mapa conceitual: Ecuaciones exponenciales

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Fecha publicación: 9.2.2017

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