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Teorema de Rouché-Frobenius (aplicación)

Mon, 16 Apr 2018 11:17:59 GMT

Recordad que un sistema de ecuaciones lineales (SEL) puede representarse de forma matricial como A X = b, donde A es la matriz de coeficientes, X es la matriz columna de incógnitas y b es la matriz columna de términos independientes. Recordad que el SEL es

compatible determinado: si tiene solución y es única.
compatible indeterminado: si tiene solución no única. En este caso, existen infinitas soluciones.
incompatible: si no tiene solución.

El teorema de Rouché-Frobenius establece la relación entre el rango de la matriz ampliada (A|b) del sistema A x = b y el tipo de sistema.

El teorema dice:

"Sea el sistema A X=b con m ecuaciones lineales y con n incógnitas, donde m y n son naturales mayores que 0. Entonces,

El sistema AX = b es compatible si, y sólo si, rango(A) = rango(A|b)
El sistema AX = b es compatible determinado si, y sólo si, rango(A) = rango(A|b)= n"

Ejemplo de aplicación:

La matriz ampliada del sistema es:

El rango de la matriz es

ya que tiene un determinante de dimensión 3 no nulo:

Además, como el determinante anterior también es el determinante de la matriz A, la matriz de coeficientes también tiene rango 3:

Por tanto, tenemos que los rangos de las dos matrices coinciden

y, por el teorema de Rouché-Frobenius, como el rango es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.

En efecto, la única solución del sistema es, en forma matricial,

Es decir,

Nota: la solución se ha calculado por la regla de Cramer.

Más ejemplos: Teorema de Rouché-Frobenius

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Etiquetas: teorema, rouché-frobenius, aplicación, incompatible, sistemas de ecuaciones, sistemas de ecuaciones lineales, álgebra matricial, matrices, matrices y sistemas, representación matricial de un sistema, aplicaciones

Sistema de ecuaciones lineales

Mon, 21 May 2012 11:55:38 GMT

Sistema de ecuaciones lineales

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Discusión de un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas

Mon, 21 May 2012 11:55:10 GMT

Discusión de un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas

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Discusión de sistemas

Juan Medina Molina — Mon, 21 May 2012 11:00:17 GMT

Discusión de sistemas

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Discusion de un sistema de ecuaciones con parámetros

Juan Medina Molina — Mon, 21 May 2012 10:20:05 GMT

Problema sobre discusión de un sistema con un parámetro y resolución para un valor dado de dicho parámetro

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Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales

Juan Medina Molina — Mon, 21 May 2012 10:17:22 GMT

En este vídeo se discute un sistema de ecuaciones lineales que depende de un parámetro y se resuelve para un valor de dicho parámetro

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Problema sobre discusión del rango de una matriz que depende de un parámetro

Mon, 21 May 2012 10:14:12 GMT

Problema sobre discusión del rango de una matriz que depende de un parámetro

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Discusión de un sistema e interpretación geométrica

Juan Medina Molina — Mon, 21 May 2012 10:08:48 GMT

Problema sobre una discusión de un sistema de ecuaciones lineales y interpretación geométrica de los diferentes casos

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Discusión de un sistema con parámetros y resolución

Mon, 21 May 2012 09:56:36 GMT

Problema sobre discusión de un sistema con un parámetro y resolución para un valor dado de dicho parámetro

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Discusión de un sistema

Mon, 21 May 2012 09:54:48 GMT

Problema sobre el teorema de Rouché-Fröbenius y la discusión de un sistema de ecuaciones lineales.

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